专题3.6 抛物线的标准方程和性质【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）.docx

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1、专题3.6抛物线的标准方程和性质【八大题型】【人教A版(2019)【题型1动点的轨迹问题】2【题型2利用抛物线的定义解题】2【题型3抛物线的焦点坐标及准线方程】3【题型4求抛物线的标准方程】3【题型5根据抛物线的方程求参数】4【题型6抛物线的对称性的应用】5【题型7与抛物线有关的最值问题】6【题型8与抛物线有关的实际应用问题】6【知识点1抛物线的标准方程】1 .抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点尸和一条定直线/(/不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点尸叫作抛物线的焦点，直线/叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点MaJ)是抛物线上任意一点，点M到直线/的距离为a则抛物线就是点

2、的集合p=mmq=Q.2 .抛物线的标准方程抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：图形标准方程焦点坐标准线方程4产2px(p0)F便。)X_Ex2y2=-2px(p0)f(4)=2gx2=2pyp0)FM)Py=-21x2=-2py(p0)。，吗)y=PJ2【题型1动点的轨迹问题】例1（2023春陕西安康高二校联考期末）动点P（%,y）到点F（3,0）的距离比它到直线+2=0的距离大1,则动点P的轨迹是（）.A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.抛物线【变式1-1（2023春广东韶关高二校考阶段练习）动点Ma,y）满足方程5J（x-1）2+（y-2尸=3x+4y+12,则点M的轨迹是

3、（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【变式1-2（2023全国高二专题练习）在平面直角坐标系XQy中，动点P（%y）到直线=1的距离比它到定点（-2,0）的距离小1,则P的轨迹方程为（）A.y2=2xB.y2=4xC.y2=-4xD.y2=-Sx【变式1-3（2023全国高三专题练习）已知动圆M与直线产2相切，且与定圆C：x2+（y+3）2=1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）A.X2=-12yB.X2=12yC.y2=12xD.y2=-12x【题型2利用抛物线的定义解题】【例2】（2023春四川资阳高二统考期末）抛物线C：y=%2过点（1,2）,则C的焦点到准线的距离为（）A.IB.iC.

4、D.I【变式2-1（2023春江苏盐城高二统考期末）若抛物线/=轨上的一点M到坐标原点O的距离为遥，则点M到该抛物线焦点的距离为（）到直线=3的距离为7,则IMF1=（）A.4B.5C.6D.7【变式2-3（2023春河南信阳高二统考期末）已知抛物线C:/=8y的焦点为尸，C的准线与对称轴交于D,过。的直线，与C交于A,8两点，且荏=2前，若尸8为乙。凡4的平分线，则|力尸|+旧户I等于（）A.-B.8C.10D.33【题型3抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2023春陕西西安高一校考期末）已知P（-1,2）为抛物线。沙2=-2口%30）上一点，则C的焦点坐标为（）.A.（一（，。）B.（

5、一也。）C.（一.。）D.（1,0）【变式3-1（2023春江西南昌高二校联考阶段练习）抛物线y2=：*!勺焦点到其准线的距离为（）A.B.一C.一D.一24816【变式3-2（2023北京西城统考二模）己知抛物线C与抛物线y2=轨关于y轴对称，贝IJC的准线方程是（）A.X=-2B.X=2C.x=-1D.X=1【变式3-3（2023甘肃兰州统考模拟预测）己知点P在圆C:/-4%+y2=。上，其横坐标为1,抛物线/=-22丫30）经过点，则抛物线的准线方程是（）A.y=B.X=-C.X=-D.y=J6126J12【题型4求抛物线的标准方程】【例4】（2023全国高二专题练习）以X轴为对称轴，顶

6、点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（）A.y2=8xB.y2=-QxC.y2=8%gy2=-8xD.x2=8y或/=-8y【变式4-1（2023春四川眉山高二校考开学考试）已知抛物线产=2p%上的点M（2,%）到该抛物线焦点的距离为3,则抛物线的方程是（）A.y2=2xB.y2=4x【变式4-2（2023北京北京四中校考模拟预测）已知抛物线（?:必=2p%（p0）的焦点为F,准线为1,点A是抛物线C上一点，AO_1I于。.若4尸二2,乙04尸=60。，则抛物线C的方程为（）A.y2=8xB.y2=4xC.y2=2xD.y2=X【变式4-3（2023全国高三专题练习）设抛物线C:y

7、2=2p%Q0）的焦点为产，准线为1,A为C上一点,以尸为圆心，IF川为半径的圆交工于8,。两点,若乙480=90。，且AABF的面积为41则抛物线C的方程为（）A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8xD.y2=16【题型5根据抛物线的方程求参数】【例5】（2023秋高二单元测试）抛物线y=Q的准线方程是y=2,则=（）A.-B.-C.8D.-888【变式5-1（2023陕西渭南统考二模）将抛物线y2=绕其顶点顺时针旋转90。之后，正好与抛物线y=2/重合，则Tn=（）A.-B.-C.-2D.222【变式5-2（2023春北京高三校考阶段练习）P为抛物线y2=2px（p0）上一点，点P到抛物

8、线准线和对称轴的距离分别为10和6,贝IJP=（）A.2B.4C.4或9D.2或18【变式5-3（2023江西校联考二模）己知抛物线C：y?=2p%（p0）的焦点为尸，点M在C上，。为坐标原点，若IoM1=通，FM=2,则=（）A.2B.4C.2或弓D.2或；【知识点2抛物线的简单几何性质】1 .抛物线的几何性质抛物线的简单几何性质：标准方程yi=2px(p0)y2=-2px(pO)9=2PNPx)x2=-2py(p0)图形11,焦点FSO)42-)FM)F(O,/)准线x=-p2x=2y=2y=2离心率e=1e=1开口开口向右开口向左开口向上开口向下焦半径MF=0-yIMF1=-Co+春MF

9、=y0+mf=-20+范围x0后0)0(0,0)(0,0)轴对称轴)=0对称轴x=0顶点2 .抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；禽心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是(Xev1,双曲线的离心率范围是e1,抛物线的离心率是e=1；椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.3 .与抛物线有关的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路

10、：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.【题型6抛物线的对称性的应用】【例6】(2023全国高三专题练习)已知。为坐标原点，垂直抛物线。:丫2=2口无30)的轴的直线与抛物线C交于4,8两点，OAOB=O,则A8=4,则P=()A.4B.3C.2D.1【变式61】（2023全国高一专题练习）以工轴为对称轴，顶点

11、为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（）A.y2=8B.y2=-SxC.y2=8%或V=-8xD.x2=8y或/=-Qy【变式62】（2023全国高三对口高考）已知48是抛物线、2=22%30）上的两个点，O为坐标原点，若0川二|。8|且AAOB的垂心恰是抛物线的焦点，则直线48的方程是（）A.%=pB.%=3pC.X=pD.x=p【变式6-3（2023全国模拟预测）已知抛物线C:y2=6%的焦点为产，准线为，点4在抛物线C上，且点A到准线1的距离为6,AF的垂直平分线与准线1交于点N,点。为坐标原点，则ZiOFN的面积为（）A.这B.逋C.93D.逋242【题型7与抛物线有关的

12、最值问题】【例7】（2023春河南开封高三统考期末）已知抛物线E:/=4y,圆C:/+（y-37=1,P为E上一点，Q为C上一点，则IPQ1的最小值为（）A.5B.22-1C.22D.3【变式7-11（2023春四川泸州高二统考期末）已知抛物线C:/=8%的焦点为F,点P在C上,若点Q（6,3）,则APQ尸周长的最小值为（）.A.13B.12C.10D.8【变式7-2（2023春云南曲靖高二统考期末）已知抛物线C：V=2pxp0）的焦点F到其准线的距离为4,M是抛物线C上一点，若4（2,3）,则MF+M川的最小值为（）A.8B.6C.5D.4【变式7-3（2023河北沧州统考三模）设P为抛物线

13、Cy2=4%上的动点,4（2,4）关于尸的对称点为5,记尸到直线=1/=-3的距离分别由，d2,则d1+d2+MB的最小值为（）A.217+2B.213+2C.17+2D.13+17+2【题型8与抛物线有关的实际应用问题】【例8】（2023春上海静安高二校考期中）如图1,太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的部分（如图2）,盛水或食物的容器放在抛物线的隼点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中尸点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）.已知镜口圆的直径为12dm,镜深2dm.（1）建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及

14、焦点的坐标；（2）若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的鸟馋虐（单位dm）.【变式8-1（2023春广西南宁高二统考开学考试）北京时间2023年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为磊+=1,变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，（0,募）为顶点的抛物线的一部分（从点C到点8）.已知观测点A的坐标（6,0）,当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令.（1）求航天器变轨时点C的坐标；（2）求航天器降落点3与观测点4之间的距离.【变式8-2（2023秋河南周口高二统考期末）河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面8m,拱圈内水面宽24w,一条船在水面以上部分高6.5m,船顶部宽6?