2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 培优课 概率中的决策问题 学案.docx

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1、培优课概率中的决策问题概率统计是高中数学的重要知识点，是高考命题的热点与重点.解答题涉及两个以上的知识模块，具有一定的综合性.此类问题的重心在决策上，不同背景仅仅是为给出决策所进行的数据收集、数据分析、必要的数据处理.主要涉及统计图表与分布列的综合，涉及用频率估计概率、互斥事件、对立事件以及相互独立事件等概率的求解，以离散型随机变量的分布列，数学期望的求解为核心.类型一用均值与方差决策例1某煤矿发生透水事故，作业区有若干人员被困.救援队从入口进入之后，有1i,上两条巷道通往作业区(如图)，1巷道有A,A2,A3三个易堵塞点，三点被13堵塞的概率都是京上巷道有囱，氏两个易堵塞点，两点被堵塞的概率

2、分别为:，3(1)求1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；(2)若b巷道中堵塞点的个数为X,求X的分布列及均值；请你按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由.解(1)设巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A,则P(A)=C9x&+cMx()2=T(2)依题意，知X的所有可能取值为0,1,2.920,P(X=2)=所以随机变量X的分布列为X012P1To920920_9_=2720=20,19EX=OX而+1义而+2X(3)设心巷道中堵塞点的个数为匕则y电，S所以EY=3x=因为EXVE匕所以选择1巷道为抢险路线较好.例22023年

3、双十一期间，某百货超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为:若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球和2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回地每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.(1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客

4、均享受免单优惠的概率；若某顾客消费恰好满1O(X)元，设该顾客选择抽奖方案一后的实际付款金额为X元，求X的分布列；试比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？解(1)选择方案一.若享受到免单优惠，则需要摸出2个红球和1个白球，设“顾客享受到免单优惠”为事件4,则P(A)=鲁=卷，所以两位顾客均享受到免单的概率为P=P(A)P(A)=V而.若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0、500、700、1000.rv-nC)C1n/v八八C支17_zv_nnxC1c7P(X0)=铳=丽，P(X-500)=-=-尸(X-700)=京=而，177Q1P(X=1OoO)=I丽一丽一而=言.故X的分布列为

5、,X05007001000P1T2071207409112017791所以EX=O又诉+500义诉+70OX而+1OOO义诉=910（元）.1xJ1xJfcV/1J若选择方案二，设摸到红球的个数为匕付款金额为Z,则Z=IO00200匕由已知可得yB（3,，故Ey=3X奈=卷，所以EZ=E（I000200y）=100020OEy=820（元）.因为EXEZ,所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.类型二利用小概率事件在一次试验中不发生来决策例3冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.第24届冬奥会于2023年在中国北京和张家口举行，为了弘扬奥林匹克精神，增

6、强学生的冬奥会知识，某市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项比赛中的参与情况,在全市的中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，求选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下的概率.（2）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？

7、请说明理由.解（1）记“选出的两所学校参与旱地冰壶人数在30人以下”为事件A,参与旱地冰壶人数在30人以下的学校共6所，随机选择2所学校共CW=15种，所以P(A)=羔U因此选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下的概率为/(2)答案不唯一.答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为C%0.12.().9+G().13=0.028.指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.答案示例2：无法确定.理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为C%0.P.9+(SO

8、.13=0.028.虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化.例4品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求品酒师按品质优劣给它们排序，经过一段时间，等品酒师记忆淡忘之后，再让品酒师品尝这瓶酒，并重新按品质优劣给它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为品酒师评分.现设鹿=4,分别以。2,。3,。4表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1m|+|2z+343+4-44,则X是对两次排序的偏离程度的i种描述.(1)写出X的可能取

9、值的集合；(2)假设42,43,44等可能地取1,2,3,4的各种排列,求X的分布列；(3)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X2.试按(2)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立).你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.解(1)如图，随着。I,。2,扇，取1,2,3,4四个数字的不同排列，X=H-0|+|2。2|十|3。3|十|4一4|有0,2,4,6,8这样五个值可取，故X的取值集合为0,2,4,6,8./34(X=O)2143(X=2)2-4(X=2)2(X=4)4/23(X=4)、32(X=4)/34(X=2)143(X=4)-4(X=4)1(X=6)/12(X

10、=8)4、21(X=8)/4(X=6)/714(X=4)/42(X=6)、24(X=4)/23(X=6)132(X=6)2/31(X=6)713(X=6)3/12(X=8)、21(X=8)4/31(X=6)71-3(X=6)(2)小，。2,。3,44等可能地取1,2,3,4的各种排列，分类画树形图列出所有情况可得P(X=O)=，P(X=2)=,P(X=4)=(,P(X=6)=,P(X=8)=,故X的分布列为：XO2468P1241872416P(XW2)=P(X=0)+P(X=2)=/三轮测试都有X2的概率P=126尸=亲-0.00463,可知三轮测试都有XW2是一个小概率事件，说明只凭猜测得到三轮测试都是XW2的结果的概率很小，所以如果一个品酒师在三轮测试中都有XW2的结果，说明该品酒师的酒味鉴别能力很强，不是随意猜测得出的结论.