20140420等差数列的性质总结.docx

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1、等差数列的性质总结1 .等差数列的定义：CI1n7=d（妫常数）（2）;2 .等差数列通项公式：an=1+（n-）d=dn+ax-d（nTVa）,首项：q,公差:d,末项：。推广：an=am+（n-m）d.从而d=%口；n-m3 .等差中项（1）如果。，A,成等差数列，那么A叫做。与6的等差中项.即：A=等或2A=+b（2）等差中项：数列zt是等差数列2z1=an+a11+i（n2）2an+1=a11+an+24 .等差数列的前n项和公式：On（a.+af1）n（n-1）,d2z1/、AOnSn=-=na.+d=+（d）n=An+Bnn2122,2（其中A、B是常数，所以当d#0时，Sn是关于

2、n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数2+1时，。用是项数为2n+1的等差数列的中间项S2z,+1=（2+吗+生田）=（2+1”用（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5 .等差数列的判应方法（1） .定义法：若凡一47二d或%+-q,=d（常数N*）o%是等差数列.（2）等差中项：数列“是等差数列U2=an.i+an+（n2）2an+i=an+a+2.数列%是等差数列。%=力k+8（其中是常数）。（4）数列。是等差数列OS.=A1+8，（其中A、B是常数）。6 .等差数列的证明方法定义法：若可一%=d或。用一常数N*）o“是等差数列.7 .提醒：（D等差数列的通项公式及前和

3、公式中，涉及到5个元素：囚、d、。“及S，其中q、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧：一般可设通项at1=%+（一1）d奇数个数成等差，可设为，a-2d,a-d,a,a+d,a+2d（公差为d）；偶数个数成等差，可设为，-3d,-d,+d,+3d,（注意；公差为2d）8 .等差数列的性质：（1）当公差d0时，等差数列的通项公式.=q+5-1）d=血+q-d是关于的一次函数，且斜率为公差d；前和S“=解+（：Dd=/+（_）是关于n的二次函数且常数项为0.（2）若公差d0,则为递增等差数列，若公差d0,dv,由”一八可得S0达到最大值时

4、的值.口+1(2)“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。k0即当40,由可得5达到最小值时的值.IA+0或求4中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前项和的图像是过原点的二次函数，故取离二次函数对称轴最近的整数时，S“取最大值(或最小值)。若SP=S”则其对称轴为二小幺注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于4和d的方程;巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量.例1在等差数列4中，(1)已知。2+。5+。12+。15=36,求S16(2)已知。6=20,求S11.例2有一项数为2+1的等差数列，求它

5、的奇数项之和与偶数项之和的比.例3若两个等差数列的前项和之比是(7+1):(4n+27),试求它们的第11项之比.例4等差数列d的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为A.30B.170C.210D.260例5在,b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列，求这10个数的和.例6在凸多边形中，已知它的内角度数组成公差为5。的等差数列，且最小角是120,试问它是几边形？例7求集合M=mIm=7rnN*,且mV100的元素个数，并求这些元素的和.例8已知一个等差数列的前IO项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前，项和的公式吗？例9已知数列是等差数列，Sf1是

6、其前/）项和.求证：56，S126,S18S12成等差数列，设其kWN*,求Sz1Sk，$3k-$2成等差数列吗？例10已知数列斯是等差数列，60,S9=S17,试问为何值时，数列的前，项和最大？最大值为多少？例11在数列Gn中，O1=I,%+1=+2，求数列/Gc+1的前。项和例12设等差数列%的前项和为日,已知6=12,S120,S30.求公差d的取值范围；(2)指出Si,S?,，$2中哪一个值最大？并说明理由.例13首项为正数的等差数列%,它的前三项之和与前十一项之和相等，问此数列前多少项之和最大？例14数列%是等差数列，6=50,d=-0.6.求从第项开始有如0：(2)求此数列的前n项

7、和的最大值.二、经典例题导讲等差数列：例1已知数列14,7,10,，3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式；(2)指出1+4+(3n-5)是该数列的前几项之和.例2已知数列%的前项之和为Sn=2n2-nSn=n2+n+求数列q的通项公式。例3已知等差数列/的前n项之和记为Sn,Sw=IO,S3o=70,则SH)等于例4等差数列%、也的前n项和为&、Tn.若二=(nwN)求j；T114+27b1例5已知一个等差数列an的通项公式an=25-5n,求数列。|的前n项和;例6已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前项和的公式吗？例7已知：an=1024+Ig2,h(Ig2=03010)neN+(1)问前多少项之和为最大？(2)前多少项之和的绝对值最小？