2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 2-3直线的交点坐标与距离公式2-3-3点到直线的距离公式2-3-4两条平行直线间的距离 学案.docx

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1、2.3.3点到直线的距离公式学习任务2.3.4两条平行直线间的距离核心素养必备知识-情境导学探新知情境趣味导学预习素养感知1 .探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式.2 .会求点到直线的距离与两平行直线间的距离.通过研究点到直线及两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.情境与问题:在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线A仓库看作点A画仓库(1)若已知直线)的方程和点尸的坐标(加，),如何求尸到直线/的距离？(2)如果利用一个向量在另一个向量上的投影，如何求点到直线的距离？知识点

2、1点到直线的距离(I)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度.(2)公式:点、P(x。,H)到直线J：Ax+By+C=的距离d=思考)1.(1)在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？点P(而到直线x=a和直线尸。的距离能否用点到直线的距离公式？有没有更简单的方法.提示！（1）直线方程应为一般式.（2）可以用点到直线的距离公式求解，也可以用下列方法求解：Pkx、,Jb）到X=a的距离d=1Ab1：产（照，%）到尸6的距离d=的一川.体验帆.原点到直线a-+27-5=0的距离d=.小=-U=5.Y12+22V知识点2两条平行直线间的距离（1）定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两

3、条平行直线间的公垂线段的长.（2）公式:两条平行直线九4r+故+G=O与A+少+G=O之间的距离d=-=.yA+B思考）2.（1）在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？（2）当两直线都与X轴（或y轴）垂直时，两条平行直线间的距离如何求？提示（1）两直线的方程为一般式且筋y的系数分别相同.（2）两直线都与X轴垂直时，7:x=r,72：）=照，则*|加一小|;两直线都与y轴垂直时，Yuy=y,Ir.y=y2,则仁|四一M1体验2.两条平行直线5x+12y-1=0,5x+12y-10=0之间的距离为（）919A，169BEcI3D*1C由两条平行直线的距离公式得：I-I-IO9相+1

4、二F一关键能力.合作探究释疑难B疑难问题解惑学科素养形成I1类型I点到直线的距离【例1】（1）点尸（1,一2）到直线/：3x=2的距离是（）1 8A.1B.C.D.2OO（2）（对接教材P”例题）己知两点力2）和M-1,4）到直线y+3=0的距离相等，则必的值为（）一11一A.0或一5B.5或一6C.或/D.0或3(3)已知点P(勿，)是直线2x+y+5=0上任意一点，则子的最小值为(DB(2)B(3)5(1)法一：点尸(1,一2)到直线)的距离d=31-232013,法二：点户(1,一2)到直线)的距离仁1-(2)依题意得号舞M7即13加+51=I加一71,；(3m5)2=(加一7)2,展开

5、合并同类项得8,+44124=0,即2，+11/一6=0,解得R=或勿=6,故选B.(3)因为标彳是点P(/，力与原点。间的距离，所以根据直线的性质，原点。到直线27+5=0的距离就是7H?的最小值.根据点到直线的距离公式可得d=q=5.故答案为乖.厂JS思领悟点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可.(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可.跟进训练1.(D点产(2创泊到直线x+y+7=0的距离的最小值为().4B.23C.42D.32垂直于直线x+3-5=0且与点尸(一1,0)的

6、距离是芈的直线7的方程为O(I)D3*-y+9=0或3113=0KI)点P(2m,泊到直线+y+7=0的距离2z7zw166r-有最小值35,故选D.设与直线x+3-5=0垂直的直线的方程为3-y+m=0,则由点到直线的距离公式知，3-1-0+加_IIn-31_375*32H1To5所以k3|=6,即/773=6.得m=9或m=-3,故所求直线，的方程为3xy+9=0或3*y3=0.口类型2两条平行线间的距离【例2】两条直线九37-3=0,72：6叶/+1=0平行，则它们之间的距离为()A.4B.嘻1 M妪心2620(2)已知直线人过点加0,1),乙过点8(5,0),如果且人与A之间的距离为5

7、,(I)DV12,3z-61=0,.=2.直线人的方程为6x+2y+1=0,即3x+y+,=0.法一：根据两平行直线间的距离公式，得占M=唠法二：在Z上取一点M0,3),则点V到人的距离60+23+1一62+?7TB20即为所求.(2)解当直线4,4斜率存在时，设直线4的斜率为A,由斜截式得力的方程为y=*x+1,即xy+1=0,由点斜式得/2的方程为尸女(x5),即取一y5=0,在I+5%直线入上取一点/(0.1),则点A到直线22的距离d=1=5,25A2+10A-+1=25A21+A+25,k=tb.M的方程为12-5y+5=0,/2的方程为12x5y-60=0.若直线AA的斜率不存在，

8、则人的方程为户0,A的方程为户5,它们之间的距离为5,同样满足条件.综上可知，满足条件的直线方程有两组，即:12at-57+5=0,:12-5y-60=0或71：x=0,72：x=5.厂思领悟求两条平行直线间的距离的两种思路(1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算.(2)利用两条平行直线间的距离公式求解.跟进训练2 .与直线/：5-12y+6=0平行且到/的距离为2的直线的方程是.若动点4(小，),B(X2,%)分别在直线A：x+y11=0和72：

9、x+y1=0上移动,则力A中点W所在直线的方程为.(1)5-12y+32=0或5-12y-20=0*+y-6=0设所求直线的方程为5*-12y+r=0(66),由两平行直线间的距离公式，得r-652+-1222,解得0=32或C=-20,故所求直线的方程为5x12y+32=0或5-12y-20=0.(2)由题意，得点时所在的直线与直线九A平行，所以设为x+y+=O,此直线到直线Z和/2的距离相等，所以+11+1二苗,解得=一6,所以所求直线的方程为x+y6=0.类型3利用距离公式解决最值问题【例3】两条互相平行的直线分别过力(6,2)和6(3,1)两点，如果两条平行直线间的距离为，求：(Dd的

10、取值范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程.尝试与发现分别过两点的平行线的距离有没有最大值和最小值？解(1)如图，当两条平行直线与4?垂直时，两平行直线间的距离最大，为d=48=632+212=3ib;当两条平行线各自绕点B,A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0,所以0x+y4=0,x=2,y=2. 利所在的直线方程为y=x. 点尸的坐标为(2,2).(2)由题意知，过点尸且与8垂直的直线到原点。的距离最大, ArtR=2, 所求直线方程为y-2=-1),即a+2-5=0.13类型4对称问题(选讲内容)【例4】己知直线：y=3x+3,求：(1)点尸(4,5)关于J的对称点坐标;(2

11、)直线y=x-2关于1的对称直线的方程；(3)直线1关于点4(3,2)的对称直线的方程.解(1)设点夕关于直线/的对称点为(/,V),则线段用的中点在直线,上，且直线PP垂直于直线I,解得；,=2,=7.点坐标为(-2,7).(2)解方程组y=3x+3,J=-2,5-2-/1点则一号在所求直线上.在直线y=x-2上任取一点M2,0),设点关于直线/的对称点为“(胸，,=3X晋+3,点M卜3号也在所求直线上.由两点式得百线方程为5-25-2+叶175化简得7x+y+22=0,即为所求直线方程.(3)在直线，上取两点(0,3),八一1,0),则,尸关于点力(3,2)的对称点分别为少(6,1),F1

12、(7,4).因为点E,F在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为目=汽，4176即3a-y-17=0.辰思领悟 .直线关于点的对称直线的求法方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由对称点确定对称直线；方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称直线与原直线平行求直线方程. .点关于直线的对称点的求法（1）如图，已知P（M力，直线/：Av+砌+C=O,求点户关于直线/的对称点（,/）可以分两步来求：第一步，直线正和/垂直，故尾，儿=一1；第二步，PP的中点刚好在直线/上，即点J+；）满足直线方程取+的+仁0,x+x9vf得到力白尸+HJ+U0.（2

13、）联立式可以解出V,V.（2）常见的点关于直线对称的点的坐标之间的关系总结如下:点力（&,力）关于X轴的对称点为H（a,6）；点、B（a,力）关于y轴的对称点为夕（一a,;点C（a,力）关于直线7=X的对称点为C（力，a）；点（a,力）关于直线尸一X的对称点为（一力，a）.跟进训练4.如图,一束光线从原点0（0,0）发出，经过直线h8x+6y=25反射后通过点尸（-4,3）,求反射光线的方程及光线从。点到达尸点所走过的路程.解设原点关于/的对称点力的坐标为（外垃,由直线以与/垂直和线段力。的中点在/上得0的坐标为（4,3）.Y反射光线的反向延长线过力（4,3）,又由反射光线过（一4,3）,两点纵坐标相等,故