2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 2-5直线与圆圆与圆的位置关系2-5-1直线与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系 学案.docx

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1、2.5.1直线与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系核心素养学习任务必备知识-情境导学探新知情境趣味导学预习素兼1 .掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.（重点）2 .会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.（难点）3 .能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题.（难点）通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.情境与问题:在日常生活中，可以见到很多有关直线与圆位置关系的形象，如图所示.我们已经知道，在平面直角坐标系中，直线与圆都可以用方程来表示，个点是否在直线上或圆上，只要看这个点的坐标是否满足它们的方程即可.那么，能否利用直线与圆的方程来研

2、究它们之间的位置关系呢？知识点直线取+%+U0与圆（-a）2+（y-6）2=/的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数两个二个雯个判定方法几何法：设圆心到直线的距离仁dr代数法：由/1O/三OQWx+如+仁0,I-a2yb=r消元得到一元二次方程，计算方程的判别式(思考版用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？提示“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的.“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”.OS蚊直线3x+47=5与圆+=16的位置关系是().相交B.相

3、切C.相离D.相切或相交圆心到直线的距离d=57+710时，即m0或成一可时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；O(2)当/=O时,即卬=O或片一3时,直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；4(3)当/0时,即一鼻0或成一W时，直线与圆相交，O即直线与圆有两个公共点；4(2)当d=2时，即加=0或加=一可时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；J4(3)当。2时,即一不成0时,直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.厂现规律判断直线和圆的位置关系有哪些方法？提示几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径二的大小关系d相切：公一相离.00相交；(2)代数法：/=8-44(/=00相切；.0台

4、相离.跟进训练1.(1)已知圆G+-4a=0,/是过点尸(3,0)的直线，则()./与。相交B.1与。相切C.1与。相离D.以上三个选项均有可能(2)设於0,则直线J：*(x+y)+I+/?=。与圆0：V+7=勿的位置关系为()A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切(I)A(2)C(1)将点P(3,0)代入圆的方程，得32+02-43=9-12=-30,点/(3,0)在圆内.过点的直线/必与圆C相交.圆心到宜线1的距离为六中，圆的半径为r=ym,Jd-r=-ym=hm-2g+1)=g(g-1)220,心人故直线1和圆0相切或相离.口类型2直线与圆的相切问题【例2】(1)过点(4,-3)作

5、圆53)2+(尸-1)2=1的切线，则切线方程为.(2)已知直线/：ax+by3=0与圆时：V+4+4-1=0相切于点P(1,2),求直线/的方程(1)15-6=0或片4因为(4-3尸+(-3-1)?=*,所以点/1在圆外，故切线有两条.若所求直线的斜率存在，设切线斜率为h则切线方程为y+3=A(-4),即kx-y-U-3=0.设圆心为C、因为圆心。(3,D到切线的距离等于半径1,所以世君子=1,即依+4|二师，所以好+8什16=六+1,解得衣=谭.O151c所以切线方程为一方1J，+三一3=0,oZ即15x+8y-36=0.若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x=4的距离为1,这时直线x

6、=4与圆相切，所以另一条切线方程为*=4.综上，所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.(2)解根据题意，圆桃/+4-1=0,即(x+2)2+/=5,其圆心机一2,0),直线_/：ax+6y-3=0与圆龊/+/+4彳=o相切于点,(一1,2),则户在直线1上且,必与直线1垂直.k产=2,则有一亍=一不则有b=2a,又由在直线，上，则有一a+2Q3=0,可解得a=1,6=2,则直线1的方程为x+2y-3=0.母题探究若本例(1)中的条件不变，如何求其切线长？解设圆心C(3,1),则|阳=4-+-3-F=i?,则切线长=172-1=4.思领悟圆的切线方程的求法(1)点在圆上时求过圆上一点(照

7、，的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率匕再由垂直关系得切线的斜率为一点由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y=%或x=xo.(2)点在圆外时几何法：设切线方程为yH=A(X曲).由圆心到直线的距离等于半径，可求得h也就得切线方程.代数法：设切线方程为P-H=A(X-Xd),与圆的方程联立，消去y后得到关于X的一元二次方程，由4=0求出h可得切线方程.过圆外一点的切线有两条.提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解.跟进训练2. (1)过圆/+/-2-4y=0上一点A3,3)的切线方程为()A.2-y+9=0B.2x+y-9=0C.2x+y+9=0D.2xy9=

8、0(2)由直线y=x+1上任一点向圆(XT/+/=1引切线,则该切线长的最小值为()A.1B.22C.7D.3(DB(2)C(1+-214尸0的圆心为。(1,2),羔=；,切线的斜率4=2,切线方程为y-3=-2(-3),即2x+y-9=0.(2)圆心C(3,0)到y=x+1的距离d=3常=2y.所以切线长的最小值为1=y2卷-f=I1类型3直线与圆相交问题【例3】(1)求直线/：3x+y-6=0被圆C2y4=0截得的弦长|您.(2)过点(4,0)作直线/与圆V+2-4y20=0交于力，8两点，如果|四I=8,求直线/的方程.尝试与发现直线和圆相交有两个交点，在求弦长时，可先求出两个交点坐标再

9、求弦长，若不求交点坐标，可用什么方法求弦长？3t+y6=0,解(1)法一：(求交点坐标)联立直线/与圆C的方程，得*2八，c解A,I=1,2=2,得C八所以交点为4(1,3),8(2,0).故直线J：3x+y-6=0被圆CV1=3,民=0,+/2P4=0截得的弦长I力曲=1-223-02=T.法二：(构造直角三角形)圆的方程可化为/+1)2=5,则圆心C(U),半径r=5,圆心C(O,D到直线7：3x+y-6=0的距离d=乎，则弦长|48|=2(2)将圆的方程配方得(x+1)2+(y2)2=25,由圆的性质可得，圆心到直线/的距离d=当直线/的斜率不存在时，x=-4满足题意;当直线/的斜率存在

10、时，设/的方程为y=A(x+4),即取一y+44=0.由点到直线的距离公式，得3=一A-2+41+A25解得A=-,所以直线/的方程为5x+12y+20=0.综上所述，直线，的方程为x+4=0或5x+12y+20=0.厂JS思领悟求圆的弦长的两个方法(1)由半径长八弦心距、弦长/的一半构成直角三角形，利用勾股定理，+。2=产求解，这是常用解法；(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或力的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解.此解法很烦琐，一般不用.跟进训练3. (1)(多选题)(2023山东德州高三二模)直线尸取一1与圆G(x+3)

11、2(7-3)2=36相交于48两点，则力6的长度可能为()A.6B.8C.12D.16(2)圆心为C(2,-1),截直线尸1的弦长为25的圆的方程为.(I)BC(2)-2),+(y+1)2=4因为直线y=A-1过定点(0,-1),故圆C的圆心(一3,3)到直线y=取一1的距离的最大值为*0=WzFAH了=5.又圆C的半径为6,故历的长度的最小值为2，产m=2TI.又当直线y=A-1过圆心时用的长度取最大值为直径12,故482yiT,12.故选BC.(2)设圆的半径为人由条件，得圆心到直线尸*一1的距离d=12+1112.又由题意知，半弦长为5,r=2+2=4,得=2.；圆的方程为(*2)?+(

12、，+1)2=4.学习效果课堂评估夯基础课堂知识检测小结问题点评1.直线尸才+1与圆f+=的位置关系是()A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离BY圆心(0,0)到直线尸x+1的距离后也苫n=坐。，；直线与圆y2=1相交，又(0,0)不在y=x+1上，直线不过圆心.2.(多选题)若直线3x+4y=b与圆f+-2-2y+1=0相切，则。的值是()A.-2B.-12C.2D.12CD圆的方程为/+r-2-2y+1=0,可化为(x1尸+(y-D2=1由圆心(1,1)到直线3x+4y6=0的距离为=1,D得6=2或12.3.过点尸(0,1)的直线，与圆51)2+(y1)2=1相交于力，B两点,若|月引=/，则该直线的斜率为()A.+1B.2C.3D.2A由题意设直线/的方程为尸履+1,因为圆(-1)2+(y-)2=的圆心为(1,1),半径为r=1,又弦长I48|=/，所以圆心到直线的距离为d=乎，所以有7=平，解得衣=12小+124.过点(2,3)且与圆(十-1)2+(夕-2)2=1相切的直线方程为.x=2或尸3Y2,3)在圆(x1)2+(y-2)2=1外，.过点2,3)与圆51)2+52)2=1相切的直线有两条.当斜率存在时，设切线的斜率为ha+1=1,A=O,则切线方程为y3=A(-2),即kxy+32k=0,切线方程为y=3,当斜率不存在时，切线方