2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 1-2-4 二面角 学案.docx

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1、1.2.4二面角新课程标准解读核心素养1.理解二面角的定义直观想象2.能用向量方法解决二面角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用数学运算Cr读I教I材知识梳理以本为本抓双基g情境导入同学们可能经常谈论某某同学是白羊座的，某某同学是双子座的，可是你知道十二星座的由来吗？我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角（二面角的平面角）约为23o26,它与天球相交的大圆为“黄道”，黄道及其附近的南北宽8以内的区域为黄道带，黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫，从春分（节气）点起，每30。便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来问题你

2、知道二面角是如何定义的吗？知识点一二面角1 .定义：从一条直线出发的两个生壬画所组成的图形称为二面角，如图.二面角的核ZAO8为二面角的平面角1一二面角的面2 .范围：我们约定，二面角及其平面角的大小不小于0。，不大于180。，而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0。且不大于90。的角的大小，平面角是直角的二面角称为直二面角.,占一*占1S“、八，、找二面角的三种方法定义法在棱上取一点，分别在两平面内过此点引两条射线与棱垂直，这两条射线所成的角就是二面角的平面角垂面法的角即为二面角的平面角已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交

3、线所成垂线法过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为8,由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O,连接AO,则NAOB为二面角的平面角或其补角，如图，NAOB为二面角-/的平面角知识点二空间向量与二面角如果m,m分别是平面内，心的一个法向量，设与兹所成角的大小为伍则O=m,或。=兀一m,n2,如图.特别地sin0=sin(n2).给想一想若二面角8/的两个半平面的法向量分别为m,n2,那么二面角的平面角与两法向量夹角m,n2一定相等吗？提示：不一定.可能相等，也可能互补.自做一做1 .在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,1,3),(2,2,4),则这个二面

4、角的余弦值为()华，这个二面角的余弦值为平或一斗2 .正方形ABCo所在平面外一点尸，%_1_平面488,若用=48,则二面角P-CD-A的大小为,平面PAD与平面PBC所成的角为.答案：45453.在三棱锥P-ABC中，B4_1_平面ABC,NBAC=90。，则二面角B-PA-C的大小为解析：因为1平面4BC,所以Ac1B4,BA1PAi所以N84C为二面角B-BA-C的平面角，又NBAC=90。，所以二面角8-C的大小为90。.答案：90及研I题I型典例精析学用结合通技法题型一几何法求二面角【例1】如图，直三棱柱A8C-48G中，48=AC=A4=2,NBAC=90。.求二面角解设AIC的

5、中点为M,连接8M,AM,因为3A=8C,AAi=AC,所以BM_1A1C,AMAC,所以NAMB是二面角4AC-8的平面角，由直三棱柱A3C48C中，AA1_1平面A8C,且ABU平面A8C,可得AB1AA,由NBAC=90。，可得ABAC,且ACQAAi=Af所以A8_1平面ACGA1,又因为AMU平面ACG4,所以1AM,AR在RtZA8M中，B=2,AM=可得tanN4M8=赤=1所以二面角A-AICB的正切值为YzI通性通法I求二面角大小的步骤（一作二证三求）Qt履荫而柞茄扁斓定定式麻茄藤三亩裙的不窗前球蒋祚由而用装鹤曲拓千;讦算&吊由舄而天示。跟踪训练如图，空间四边形A88中，AB

6、=BC=CD=DA=a,对角线AC=,BD=ja,求二面角A-BD-C的大小.A解：如图，取80的中点O,分别连接AO,COtSB=ADtBC=CD,.AOBD,CO.1BD.，NAOC为二面角Ame的平面角.AB=AD=atBD=y2ats班.AO=2a.：BC=CD=a,BD=2,0C=a.在AAOC中，OC=乎,OA=乎a,C=a,OA2+OC2=AC2./.NAoC=90。.即二面角A-BD-C的大小为90.题型二向量法求二面角【例2】(2023天津高考节选)如图，在棱长为2的正方体A88-A向GQ1中，七为棱BC的中点，尸为棱CO的中点.(1)求证。砂平面4EG；(2)求二面角A-4

7、G-E的正弦值.解(1)以A为原点，ABtAD,A分别为4,y,Z轴，建立如图空间直角坐标系，则A(0,0,0),4(0,0,2),8(2,0,0),C(2,2,0),50,2,0),C(2,2,2),D,(0,2,2),因为E为棱8C的中点，尸为棱CO的中点，所以E(2,1,0),F(1,2,0),所以万E=(1,0,-2),AC=(2t2,0),A=(2,1,-2),设平面A1EG的一个法向量为m=(x,y,z),miG=2x+2j=0,则I_令x=2,则m=(2,-2,1),(mAiE=2x+j2z=O,因为万了m=22=0,所以i於_1m,因为O1FQ平面AIEC1,所以O1F平面AI

8、EG.(2)由正方体的特征可得，平面AA1G的一个法向量为D1=(2,-2,0),DBm8人历则COS(DB,m)=7a/2=3,IDBMmJX2D所以二面角A-A1CI-E的正弦值为1cos?=；.I通性通法I向量法求二面角的三个步骤(1)建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；(2)求出两个半平面的法向量n,n?:(3)设两平面的夹角为仇则CoS=s|.注意(1)若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解；(2)要注意两平面所成的角与二面角的区别.。跟踪训练的大小为仇则CoS0=()A.当B*3OC啦D近J44解析：B因为碇=(0,0,2),A=(1fOf2,0)

9、,7?=(-1,0,2),设平面ABCC*n=0,的法向量为n=(x,yfz)t贝I,即ABn=0,平面480的法向量为P己=(0,0,2),所以CoSOyXO),OB=(Ot2,0),所以7=(-1,一x+2z=0,取n=(2,1,1),又因为1-+2j=0,OCn2f一一*2f6,故选BIOCn2X76,0,2),OA=(1,O,O),OB=(0,2,0),设二面角C-AB-O1 .如图，点A,B,C分别在空间直角坐标系OTyZ的三条坐标轴上，2 .在正三棱柱ABC-A归IG中，各棱长都相等，E为8与的中点，则二面角石-AC-B的大小为解析：设正三棱柱的棱长为2,以AC的中点O为坐标原点，

10、QA,08所在直线分别为X轴，)，轴，AC的垂直平分线为Z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),C(-1,0,0),8(0,3,0),E(0,3,1),AC=(-2fO,0),AE=(-1t3,1).设平面AEC的法向量n1AC=-2x=01为n1=(x,y,z),则令z=5,得mnAE=x+3yz=0,=(0,-1,3).平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),则COS(n,n2=;G=nm孝所以。，2=看，故二面角E-AC-B的大小为弓.答案：看介拓I视I野思维进阶A-探究关联开眼界立体几何中的翻折问题如图，把正方形纸片ABCO沿对角线AC折成直二面角，E,F分别为人AD,8C的

11、中点，。是原正方形A3CZ)的中心，求折纸后NEO厂的大小.理问题探究此问题涉及到平面图形的翻折问题，求解平面图形翻折成立体图形有以下规律：确定翻折前后变与不变的关系画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决确定翻折后关键点的位置所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点.因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关

12、系的变化.只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算团迁移应川1.写出上述问题的解答.解：如图，以04,OC,。所在直线分别为X轴，Iy轴，Z轴建立空间直角坐标系O-xyz.设原正方形的边长为1,则电，一乎，旁)，乎，田，o),COSCoe,of=IOEI1OFI产勺?.如图，在直角梯形ABC。中，AB/CD,ABVBC,CD=2AB=2BC=4,过A点作AE_1CQ,垂足为E现将aAQE沿AE折叠，使得Of11Ee取AO的中点尸，连接8兄CF,EF,如图.(1)求证：BCJ平面OEC；(2)求二面角C-BF-E的余弦值.解：(1)证明：

13、*：DE1EC.DE1AEfAEQEC=Ei.。石_1平面ABCE,又YBCu平面ABCE,，DEI.BCtXVBCEC,DECEC=E,.bc11平面0EC.(2)如图，以点E为坐标原点，分别以E4,EC,即所在直线为X,y,Z轴建立空间坐标系ExyztE(0,O,O),C(0,2,0),8(2,2,0),0(0,0,2),A(2,O,O),F(1,0,1),设平面ET7B的法向量nj=(x,y1,z),由京=(1,0,1),e=(2,2,0),.卜1+z=O,_2x+2M=0,取X1=1,得平面EFB的一个法向量。=(1,-1,-1),设平面BCr的一个法向量为2=(X2,”，Z2),由衣

14、=(1,-2,1),cSk=(2,0,0),X2=0,Xz-2yj+z2=O,取/2=1,得平面BC尸的一个法向量2=（0,1,2）,设二面角C-BF-E的大小为,由图可知，为锐角，则COSIm-巾|_|一一2|_正nn2535,故二面角C-BF-E的余弦值为当工国随堂检测1 .三棱锥A-BC。中，平面ABO与平面BC。的法向量分别为n,n2,若（。，n2）=,则二面角A-BD-C的大小为（）aTB.2TD-不或不H2c行或丁解析：C当二面角A-QC为锐角时，它等于=.当二面角AdZXC为钝角时，它等于冗一n1,n2）=2 .如图，AB是圆的直径，PA1AC,PA1BC,。是圆上一点（不同于A,8）,且%=AG则二面角P-BC-A的平面角为（）A.ZMCB.ZCBAC.ZPCAD.NCAB解析：C.C是圆上一点（不同于4,3）,AB是圆的直径，.AU18C,PBC,AC=A,即Be1面PAC,而PCU面PACiBCPCt又面ABCPBC=BC,Pe