专题三 第3讲数列求和及其综合应用.docx

《专题三 第3讲数列求和及其综合应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题三 第3讲数列求和及其综合应用.docx（14页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、第3讲数列求和及其综合应用考情分析数列求和常与数列的综合应用一起考查，常以解答题的形式出现，有时与函数、不等式综合在一起考查，难度中等偏上.考点一数列求和r核心提炼、1 .裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消.常见的裂项方式有：I 11 -L-Y (+l) n +l(+k)+2i一五-1 7?+lJ2 .如果数列如是等差数列，九是等比数列，那么求数列如仇的前项和S”时,可采用错位相减法.用错位相减法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写出“SJ和qS,J的表达式时应特别注意将两式“错项对齐

2、”，以便准确写出“SnqSj的表达式.考向1分组转化法求和例1已知在等比数列%中，0 = 2,且a” S，。32成等差数列.(1)求数列小的通项公式；(2)若数列为满足。“=；+210g2% 1,求数列为的前n项和S.解(1)设等比数列”的公比为4，由 1, 2,2成等差数列，得2a2=1+。3-2,即4g=2+2炉-2,解得4=20=0舍去),则斯=。4门=2，WN*.(2)=+2k)g2 斯一1 =+210g22- 1 =+2n 1,则数列儿的前项和S=Q+ J+(l +3 + *+2/?-1)=+1n(l+2w-l)= 1 -+n2.1-2考向2裂项相消法求和例2 (2020莆田市第一联

3、盟体学年联考)设数列斯的前项和为S,且S=22，5为正项等比数列，且正=内+3, 83=604+2.求数列和也的通项公式;设G产；-；，求C的前项和Tn.斯+110g2d+1解 (1)由 Sn=n-2，得当 n= 时，ci=S = - 1,当 时，S,t-i=(nI)22(-1)=/-4h+3,所以当九22时,an=SnSn-=2n3, a 1也满足此式.所以斯=2九一3, N*.又加=。1+3=2, 63=644+2=32,因为仇为正项等比数列,设5的公比为q0).所以中哈=16,即乡=4,所以仇=加门=24门=22，N*.(2)因为斯+】=2(+1)3=2-1,仇+】=22n+1.所以 C

4、n -an+r Og2bn+! (2n 1 )- log222w+1= (2n- 1)(2h+ 1)=2(2/i- 1 2n+1所以 = Cl+c2 + c3H-111_1, l_ll . 112k1 3+3 5+5 7+ + 2n-l 2/+12+1)=211 .所以 Tn=2n+V考向3错位相减法求和例3已知数列斯的前项和为工，的=2, (),且曷+12%+心3届=().(1)求数列的通项公式；(2)设d=10g3(l +工)，求数列斯小的前n项和Tn.解(1)由曷+2+。”-3底=0 及 40,得 feO-X*3=0,解得等=3或竽= 1(舍)，斯Cln所以如是等比数列，且公比q=3,又

5、 41 = 2,所以 =23，N*.e、12(1-3)(2)因为 S尸 J=3- 1,1 5所以 b=log3(l+%)=，则也=2干3门,所以 7；=2X3O+4X31+6X32+ +(2n-2)-3z,-2+2n-3w-l,所以 34=2 X 31+4 X 32+ 6 X 33+(2,-23门+2-3,2(13”)一，得(1-3)5 = 2 + 2X31+2X32 + 2X33 + 23一23=-7一23=(1 一JL2)3”一 1,所以规律方法(1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和差.(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项.(3)错位

6、相减法求和，主要用于求斯儿的前项和，其中, 仇分别为等差数列和等比数列., 上落为奇数，跟踪演练1 (1)已知函数负)=，14./田岭且4=黄)+火+1)，则。|+。2+。3HH一几，为偶效，。8等于()A. -16 B. -8 C. 8 D. 16答案C解析 当为奇数时，+1为偶数，则知=/一(+1/= 2- 1 ,所以4+3 +。5 +。7=一(3 + 7+11 + 15)= -36.当为偶数时，+1为奇数，则=一/+(九+1)2=2+1,则2+。4+6+。8=5+9+13+17=44.所以。1+2+的+。8=36+44=8,故选 C.2(2)(2020武汉江夏一中、汉阳一中联考)若首项为

7、彳的数列知满足2(2+1)&斯+i+a“+=a，则 41+s + a3 +。2020 等于()8 0804 0784 0404 039A-4 041 B 4 040 C,4 041 D,4 040答案C解析 依题意得斯WO,由 2(2+1)4。“+1=。一。+1,等式两边同时除以斯如十】可得一；=4+2,。+1 Cln则当22 时， -=4-2, - =4-6,，=6,4 3l1122以上式子左右两边分别相加可得11 (6+4/2-2)(n-l)an a2日 19 1 (2一 1)(2+1)圻 I/ _2_ 11历人 a,t(2n 1)(2/?+1) 2n-1 2n+ l2当 =1时，号满足上

8、式.故 0+02+43 +。2020= 1 03厂4 041 =1 _4 0404 041-4 04r由题意知：当n=时,当时,“ 一，0 儿+1(3)已知数列斯和儿满足(71=2,加=1,斯+| = 2斯(10，b+b2+b3-bn=bn+1(N).求数列与为的通项公式；记数列。瓦的前项和为T”,求T.解 由=2,。+ =2“，得斯=2(N)b=bi,故历=2.bn = b+1 bn.=bn又牛=?,所以d=MN*).4 I由知abn=n+2,因此及=2+222+323+九2,27；,=22 + 2-23+3.24+-+/?2,+ 11 1 33因为尹力77；3+e=1故4,所以。一27；=

9、2+22+23+ 2一-2力.故 7；=(-l)2+1+2(N)考点二数列的综合问题数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，通过放缩进行等式的证明.例4 （1）（2020日照模拟）如图，在直角坐标系xQy中，一个质点从A（m，s）出发沿图中路线依次经过仇。3，4），。（。5, 6），DCl7,。8），按此规律一直运动下去,则。2017 +。2018 +。2019 +。2020 等于（）A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2 020答案C解析 由直角坐标系可知,A(l,1), 8(1,2), C(2,3), 0(

10、2,4),及3,5),尸(一3,6),即0=1,。2=1,。3= 19。4 = 2, 45 = 2,拆=3, Cl7= -2,。8 = 4,，由此可知，数列中偶数项是从1开始逐渐递增的，且都等于其项数除以2；每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第一个数为其组数，每组的第一个数和第三个数是互为相反数，因为 2 020:4=505,所以 42017=505, 2()is= 1 009, 02019= -505, 2()2()= 1 010,2 017 + 2018 + 2019 + 2 020 2 019.(2)(2020洛阳第一高级中学月考)已知数列斯满足0+$2+、=/+5wn),

11、设数列劭满足儿数列包的前项和为，若A士(N*)恒成立，则人的取值范围是()A.G，+)B.J, +8)点,+8)D +8)答案D解析 因为 a i +；2 HF%=序+( e n*),所以。1+%2+=4-1 = (- 1)2+(- 1)(WN,及22),，n 1故清=2,即 “=22(22).当几=1时，ai = l1 4 4(/? +1) 4 8 8 o易错提醒(1)公式Z=S“一S,L1适用于所有数列，但易忽略22这个前提.(2)数列和不等式的综合问题，要注意条件N“，求最值要注意等号成立的条件，放缩不等式要适度.+l=2,满足上式，故 a=22(N)2n+ 1FL 1氏=42X(+I)

12、2=a2(+ i)2_|，故/=如/)+俵一*)+/一舟司1-4 序 + 2(+l)2_4(及+1)2故 N*)恒成立等价于广12*8,即普冬恒成立，化简，得;,/?+14(,?+1)2 十 14(+1)4 4(十 1)跟踪演练2 (1)(2020中国人民大学附属中学模拟)在数列小中，已知为=小+筋，N*,则是“%是单调递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析 若在数列中，已知胧，N,。|2,贝I 1+23,若数列是单调递增数列，则对任意的都满足a, an=(/? +1 )2+A(/? +1)ivkn=2n+l+A0,/ A12，即 2

13、(12)max=-3,因此,是“斯是单调递增数列”的充要条件.(2)设曲线y=2 020炉+1(N*)在点(1, 2 020)处的切线与x轴的交点的横坐标为为，令为=log2020X,则 m+azH。2019的值为()A. 2 020 B. 2019 C. 1 D. -1答案D解析 因为y =2 020(n+l)y所以切线方程是)，-2 020=2 020(/?+D(x-l),所以为产+1所以 Fa20l9 = log2 020(XX232019)22 019、1= 10g2 42X3X X2020j=1g2022020= -L专题强化练一、单项选择题1.(2020聊城模拟)数列1,6,15,28,45,中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来,故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为()16152845A. 153 B. 190 C. 231 D. 276答案B解析由题意知，数列的各项为1,6,15,28,45,，所以 ai = l = lXl, 42 = 6=2X3, 3=15 = 3X5,