专题3 第1讲 等差数列与等比数列.docx

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1、第1讲 等差数列与等比数列考情分析1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现2数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点.考点一等差数列、等比数列的基本运算【核心提炼】等差数列、等比数列的基本公式(N*)(1)等差数列的通项公式：斯=。1 + (一l)d;等比数列的通项公式：z 、， - ， l.,、 n(a+alt) , /?(/? 1),(3)寺差数列的求和公式：Sn=一=1+ 刁 (1;0(I- ai-aq(4)等比数列的求和公式：sH= 1 一4iqJiai, q=l.例1 (1)周髀算经中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立

2、夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为()A. 155 尺 B. 125 尺 C. 10.5 R D. 95 尺答案A解析 从冬至起，十二个节气的日影长依次记为。2,。3,，02,由题意，有。+。4 +m+3d=12.5,。7=375,根据等差数列的性质，得出=12.5,而32=4.5,设公差为4则 .。1 + 111=4.5,0 = 15.5,解得,， 所以冬至的日影长为15.5尺.d= 1,已知点(小斯)在函数段)=2门的图象上(WN*).数列斯的前n项和为Sn，设bn=s +1k)ga 京一，

3、数列d的前项和为7；.则Tn的最小值为.答案一30解析,点(,斯)在函数次%)=2一的图象上,，斯是首项为。=1,公比q=2的等比数列,1X(1-2H)1-2：.S=-； n =2n-2则 bn= log0 =2n-12(nEN*),为是首项为一 10,公差为2的等差数列，.口尸10+加产 X2=2_u=（l 丹詈.又WN*,丁的最小值为八=76 = （；）2一号=-30.规律方法等差数列、等比数列问题的求解策略（1）抓住基本量，首项、公差d或公比夕.（2）熟悉一些结构特征，如前项和为S“=2+3, 是常数）的形式的数列为等差数列，通项公式为4/。）的形式的数列为等比数列.（3）由于等比数列的

4、通项公式、前项和公式中变量在指数位置，所以常用两式相除（即比值的方式）进行相关计算.跟踪演练1 （1）（2020全国II）数列斯中,0 = 2, atn+n=amanf若依+1+诙+2+Mo=2r-25,则攵等于（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5答案C解析,0=29 加十 =4加。，令 m = 1,贝U。”+,如是以0=2为首项，2为公比的等比数列，：.afl=2X2nl=2n,又什1+伙+2T卜。2+10=2”-25,2At21)=225即 2(2,0-1)=25(2,0-1),.2我+1 = 25,.后+1=5, ：.k=4.(2)(多选)(2020威海模拟)等差数列斯的前项和记为

5、S”若00, So=S2o，则()A. J0B.。160C. SWSi5D.当且仅当又232时,50,所以 d0,故 A 正确；因为 06=41 +15d=-15d=5,又 d0,乙乙乙291所以。160, 160,所以S15最大，即SW&5,故C正确；.二询+- d= 0 d,若S“0,又d0,则心30,故当且仅当231时，S S20S10, S30S20, S40S30也成等比数列，A 1OX(13O-S2o)=(52o-10)2,解得 520=40 或 S2()=30(舍)，故 S40S30=270,40=400.考点三等差数列、等比数列的探索与证明【核心提炼】等差数列等比数列定义法an

6、+an=d丁一曲W0)通项法an=a+(n-)cla=avqn中项法(九22)(A=an-an+(72 22, QW0)前项和法Stl=cin2+bn3, b为常数)Sn=k(f-k证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.例3 (2019全国II)已知数列斯和儿满足。i = l, bi =0,4%+i = 3一儿+4,4d+1 = 3瓦一。-4.(1)证明：斯+匕是等比数列，斯一儿是等差数列；(2)求斯和儿的通项公式.证明 由题设得4(即+1 + bn+)=2(即+bn),即 a+i+b“+i =(+仇).因为 a+b = 9所以伍+儿是首项为1,公比为;的等比数列.由题设得 4(。+b”+i

7、)=4(一瓦)+8,即 an+1-bn+=an-bn+2.又 ab= ,所以伍一E是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解 由(1)知，an+bn=p, altbn=2n1.所以 ”=T(Q+b)+(Q”一包)=/+一；(WN*),易错提醒忌=斯-1%+(22, N*)是斯为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为().跟踪演练3已知数列斯满足41 = 1 , = 2( + 1 )”.设bn = .(1)求 6|,岳，by,(2)判断数列5是不是等比数列，并说明理由；(3)求“的通项公式.解(1)由条件可得斯川=幺*%小将 =1代入得，a2 = 40，而0 =

8、1,所以。2 = 4.将 =2代入得，3 = 32,所以3=12.从而仇=1,力2 = 2,力3 = 4.(2)儿是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下：由条件可得争=等，即儿+产2以+1 n又历=1,所以儿是首项为1,公比为2的等比数列.（3）由（2）可得个=2门,所以专题强化练一、单项选择题1 .在等比数列中，若3 = 2, 6/7 = 8,则恁等于（）A. 4 B. -4 C. 4 D. 5答案A解析数列“为等比数列,且的=2, 47=8,，ag=43-47=2X8=16,则。5=4,等比数列奇数项的符号相同，的=4.2. （2020全国II）记S“为等比数列的前项和.若53= 12,

9、拆一“4=24,则=等于（）A. 2一 1B. 22厂C. 22D. 2一 1答案B解析方法一设等比数列的公比为外由 的一。3 =。q,一120= 12 得 6/1=1.所以。“=。可 |=2，S尸驾三四=2一1,所以方法二设等比数列如的公比为外内/一3= 12,。4 /一4 = 24,将夕=2代入，解得3=4.所以的=3=1，下同方法一.3 .已知等差数列知和等比数列小的各项都是正数，且0=，.那么一定有（）A. cioWI% B.1% C. a2b2 D.方 12答案B解析 因为等差数列%和等比数列为的各项都是正数，且m=仇，颔=如，所以4+。”=b + b = 2。6,当且仅当从二1时，

10、取等号，此时数列儿的公比为1.4 .在数列斯中，3=2, 吊=*+ln(l+ 则斯等于()A. 2+ziln nC. 2n+nn nB. 2+(/? l)ln nD. 1 +/?+?ln n答案C解析 由题意得言苦一年=ln(+l) In n,分别用 1,2,3, , - 1(22)取代，累加得仅一半=In/一In 1,即)=2+ln,即 atl=2n+nn (22),又。1 = 2符合上式，故an=2n+nln n.5.已知数列“的前项和为S” ) = 1,念=2,且对于任意心1, N*,满足+1+S1=2(5+1),则( )A. 。9=17 B. ci()= 19 C. Sg=81 D. S】o=91答案D解析,对于任