第2讲 函数的单调性.docx

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1、第2讲函数的单调性单调性是函数的一个重要性质,对函数作图起到决定性的作用,而导数是分析函数单调区间的一个便利工具,通过求解一阶导函数并判定其正负号,进而得到原函数单调性.利用导函数研究函数单调性是导函数这一块知识贯穿始终的东西,如果单独拿出来考查可以分为两类题型:第一类是求导来讨论函数的单调性.第二类是给出函数单调性,然后来求出参数的取值范围,这一类通常把的单调性问题转化为导函数的不等式问题,按照不等式问题的解法来求解即可.下面是导函数和原函数单调性之间的联系,希望读者认真掌握：函数在(,b)可导,那么在(6。)上单调递增=V冗(,Z?),(x)O.函数/(x)在可导,则/(x)在(,b)上单

2、调递减=x(,b),r(x)O.进一步可说,函数/(x)在(。力)内可导,且广(九)在(。任意子区间内都不恒等于0.则当X(4,。)时,r(X)0O函数/(X)在(4,。)上单调递增./(久)Oo函数/(x)在(力)上单调递减.求无参函数的单调区间(因式分解法)函数没有参数的话是相对较简单的,只需要求导,并判定出导函数的正负号即可判定出原函数的单调性,其中对导函数因式分解后就能判定出每个因式的正负号,进而判定总的导函数的正负号,所以,我们求导后一定要想办法因式分解,下面给出利用导数求函数单调区间的一般步骤：(1)确定函数的定义域.求出了)的导函数r(x),并因式分解.令r(H=o,求出X的解集

3、,即可分割出了G)的单调增(或减)区间.(4)列出表格或者进行描述.【例11已知g(x)=(f-4x+4)e*T，求函数g(x)的单调区间.【解析】y=g(x)的定义域为R,/(x)=(-4)er(x2-4x+4)ev=2(x-2)eA+(x-2)2er=x(x-2)er,令8(工)=得工=2或1=0.当X变化时,g(x),g(x)变化如下表所示:X(-8,0)0(0,2)2(0,2)g(x)+0-0+g(x)单调递增极大值单调递减极大值单调递增.收(”的单调递增区间为(0,0)和(0,2),单调递减区间为(0,2).【例2】已知函数)=x2+hr-3x,求/(x)的单调增区间.【解析】/(x

4、)=x2+1nx-3xj(x)的定义域为(0,+),cIC2x23x+1(2,-1)(x-1)./(x)=2x+3=A1.XXX由r(x)O得,0戈1.故所求的单调递增区间为(,g)(1,+8)求无参函数的单调区间(连续求导法)如果一阶导函数无法因式分解,也无法求出/(与)=0的解,则要考虑多次求导，但一定记住,不论求导多少次,怎么求导,最终一定回归判定一阶导函数的正负号，进而得到原函数的单调性.【例1】歹IJ已知函数/(力=2廿一/一2(无一1)(其中e为自然对数的底数),求F(X)的单调区间。【解析】：/(x)=2e*-2-2(X-I)J0,解得%0令/(x)0,解得x1),判断函数/的单

5、调性.【解析】/(x)=-(x1)zX11Inx.r(H=X,i(F设g(x)=1InX(X1),g(x)=J=0.y=g()在(1,+8)上为减函数.g(x)=1-1-InXg=0.X1111 Iiu.f,(x)=-j0J(x)=0r-I-InXJ(x)=-J=，,当OJ(犬)O,r(x)=O时，.当x(,J时JM)0J(x)单调递增.综上所述,当0时()单调递减区间为(o,y),无单调递增区间.当40时(x)单调增区间为(1+“,单调减区间为(0.【例2己知函数/式如筌”/)讨论/(x)的单调性.【解析】,(x)=(or-2+6r)etz当4=0时,r(x)=-2e*0时,令r(无)o得了

6、平.”X)的单调递减区间为1),单调递增区间为,+/).当。0时,令r(%)F令/M)o得2-ax0,/.2ex2.当2时,/(力0,此时/(x)在(0,+8)内单调递增.当&2时,由/(力0得XInT,此时f(x)单调递增.由/(X)0得0X0,开口向上,讨论=一4公.A0=在xO上,r(x)0=/(X)在xe。时单调递增.A0n尸(力=0会有两个根:=/=芍区,进一步比较两个根的大小和讨论两个根是否在定义域内(结合开口方向,对称轴和纵截距综合考虑).G0n;(力=0会有两个根:不=心乎,=与区,进一步比较两个根的大小,讨论两个根是否在定义域内.注意:如果可以通过因式分解求出两个根,则只需根

7、据开口,比较两个根的大小，讨论两个根是否在定义域内.例1已知函数/3=41门+/_2尔(mR),求函数的单调区间.分析：(1)首先确定函数定义域和导函数.当A0时J(HO,得到函数单调递增.当A0时,分两种情况讨论,根据导函数的符号得到原函数的单调区间.【解析】由题意得“X)定义域为(0,+e)=3+2x-2m=2jXX令y=f_尔+2,贝14二m2_8若-22m2,则0,则fx)0,.此时函数力在(0,+8)上单调递增.若m22,y=x2一mx+2有两个零点x1,x2,则XIX?=20,其中m-Jtn2-8m+n2-8=，x=22若加一2&,则玉0,工20z故此时函数/(x)在(0,+8)上

8、单调递增.若m2J,则x1O,x2O,此时当(0,xJ和(x2,+e)时(x)。.当x(%,x2)时,r()0.此时函数/(X)在(0,%)和(林+8)上单调递增,在(西,工2)上单调递减.综上所述,当z2时(力单调递增区间为Or-JT8，利+1；2-8+8单调ZZ递减区间为1近百,生正三、,I22J【例2】已知函数f(x)=gf一欣+(Ja)X,讨论函数“同的单调性.E1n.、，、八,/、。.X2+(1-a-a(x+1)(x-a)解析定义域为(0,+8)J(X)=X-+1-4=.XXX当4o时,在(。,+8)上r)o,.此时“力在定义域(0,+8)上单调第增.当40口寸,令r(x)0X，令/

9、(X)2叱由广(力=0解得X=Ine咚三或X=IngH,.y=e是增函数,.此时/(x)在-naa2-和产及24+8单调递减，22)/h伫重三n”遂三单调递增.I22J【例4】已知函数“力二；/一(4+,卜+2hu,讨论了的单调性.1(八【解析】/(x)=-x2-a+x+21nx(x0)2a)/992-p+-v+2(x-)fx-.,r(x)=+2+2=_=:_(Va)Xx若MO,r(M)o恒成立,.此时在(0,+力)上单调递增.(2)若衣,2,当w二,十/)时,/(力0,./(另在(4,+00)上单调递增.当x(,2时0,.此时在(0,2上单调递增.当(2,)时，r(x)O,.此时/(力在上单调递减.若=应,/(无”0恒成立,.此时外力在(0,+上单调递增.若0a2,a0,.此时工)在(2+8上单调递增.当x(4,2卜j,/(V.此时/(%)在上单调递减,当XE(OM)时/0,.(x)在(Om)上单调递增.综上,当逝时J(X)在(,y)和(0。)上单调递增,在上单调递减.当OO成立.函数“X)在区间。上存在单调递减区间=3x。使得r(x