初二平行四边形的性质和判定知识点整理.docx

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1、初二平行四边形的性质和判定专题1平行四边形的定义(1)定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形的定义有两层意思：是四边形；两组对边分别平行这两个条件缺一不可(2)表示方法：平行四边形用符号表示平行四边形ABCD记作,ABCD,，读作平行四边形ABCD(3)平行四边形的基本元素：边、角、对角线步直平行四边形的定义的作用：平行四边形的定义既是性质，又是判定方法由定义可知平行四边形的两组对边分别平行；由定义可知只要四边形中有两组对边分别平行，则这个四边形就是平行四边形【例1】对于平行四边形/80,AC及8。相交于点下列说法正确的是()A-平行四边形/8。表示为口ACDBB平行四边形/8

2、。表示为,ABCD,CADWBCABwCDD-对角线为/U，BO解析：两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知平行四边形的两组对边平行，故选C.答案：C2平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等例如：如图所示在1；ABCD中，AB1CD，ADBC规律由上述性质可得夹在两条平行线间的平行线段相等如图2，直线小是夹在直线4，6间的平行线段，则四边形/8。是平行四边形，WAB&CD.(2)平行四边形的对角相等，邻角互补例如：如图所示在ABCD中，ABC=KCDA，乙BAD二乙BCD.乙ABC+乙BAD=180o，ABC4BCD=180，乙BCD+乙CDA=180，匕BAD+/31=180。.

3、(3)平行四边形的对角线互相平分例如：如图所示在CABCD中OA=OCOB=OD.图(4)经过平行四边形对角线的交点的直线被对边截得的两条线段相等，并且该直线平分平行四边形的面积例如：如图所示，在CABCD中，用经过对角线的交点O及4?和以7分别交于点F,贝(JOE=OF-且S四边形ABFE-S四边形EFCD-【例2】c/8C。的周长为30cm，它的对角线/U和8。交于O，且aO8的周长比a8OU的周长大5cm，求/8，的长分析：依题意画出图形，如图，aO8的周长比AgOU的周长大5cm,即O+AB+BO-(8。+OC+BQ=5(cm)因为OA=OC08为公共边，所以AB-BC=5(cm)30

4、由AB+BC=15(Cm)可求AB，BC,再由平行四边形的对边相等得力。的长解：Q?的周长比a8OC的周长大5cm./。+AB+BO-(8。+OC+BQ=5(cm)四边形/8。是平行四边形，.AO=OC:.AB-BC=5(cm).门/8。的周长为30cm，.8+BC=15(cm)ab-bc=s，Jab=io，,AB+BC=15.BC=5.:.AB-10cmAD-BC=5cm.3平行四边形的判定(1)方法一：(定义判定法)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础关于边、角、对角线方面还有以下判定定理(2)方法二：两组对边分别相等的四

5、边形是平行四边形如图，连接8。，由力。=8。，/6=。，可证明AB*CDB，所以/08二ABD，乙CBD二乙ADB，从而得到ABWCD，ADW8C由定义得到四边形/8。为平行四边形其推理形式为：.AB=DC，AD=BC，.四边形/8。是平行四边形(3)方法三：两组对角分别相等的四边形是平行四边形如图，由1B=kD，n+n8+nC+n。=3600可得8+qi80，Z4+z5=180o.从而得到811OCADWBC由定义得到四边形/8。为平行四边形，其推理形式为：/Z4=zC乙B=乙D、二.四边形/8。是平行四边形(4)方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形其推理形式为：如图，.O=OU,OB

6、=OD，四边形/8。是平行四边形(5)方法五：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形其推理形式为：如图，./如18广AD=BC，四边形/8。是平行四边形*直Q)判定方法可作为画平行四边形的依据；(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形【例3】已知，如图在四边形/8。中。及8。相交于点OABWCDAO=G9.四边形/8。是平行四边形,请说明理由解：因为ABWCD，所以n84U=nOC4又因为/0=8,4AoB二COD，所以4/86a。所以BO=Da所以四边形/8。是平行四边形4三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线性质：三角形两边中点连线平行于第三边，

7、并且等于第三边镁&Q)一个三角形有三条中位线，每条中位线及第三边都有相应的位置关系和数量关系;(2)三角形的中位线不同于三角形的中线，三角形的中位线是连接两边中点的线段，而三角形的中线是连接三角形一边的中点和这边所对顶点的线段【例4】如图所示在C中，点，R尸分别是/8,BC，C4的中点，若8C的周长为10cm，则/?的周长是cm.解析：由三角形的.中位线性质得，I11DF=-BCEF=-ABDE=咨，1所以的周长=1=5(Cm)答案：55两条平行线间的距离定义：两条平行线中一条直线上任意一点到另一直线的距离，叫做这两条平行线间的距离如图所示，diIb，点/在直线d上过A点作AC-1b，垂足为C

8、则线段的长是点力到直线6的距离也是两条平行线a,b之间的距离规律Q)如图过直线3上点8作垂足为。，则线段BD的长也是两条平行线ab之间的距离于是由平行四边形的性质可知平行线的又一个性质：平行线间的距离处处相等(2)两条平行线之间的距离是指垂线段的长度，当两条平行线的位置确定时，它们之间的距离也随之确定，它不随垂线段的位置的改变而改变，是一个定值【例5】如图所示如果(6，则“8U的面积及?一的面积相等吗？由此你还能得出哪些结论？解：a8U的面积及408C的面积相等因为12所以它们之间的距离是一个定值所以a18C及ADBC是同底等高的两个三角形所以SAABC=SdDBG结论：4上任意一点及8，U连

9、接，构成三角形的面积都等于/8C的面积，这样的三角形有无数个6平行四边形性质的应用平行四边形性质的应用非常广泛，可以利用它说明线段相等、证明线段平行、求角的度数、求线段的长度、求图形的周长、求图形的面积等对平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、含30。角的直角三角形、三角形的面积、三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握是解决此类问题的关键【例6】如图，厂7/8。的对角线相交于点过。作直线用，并及线段/8,。的反向延长线交于GOF及。尸是否相等，阐述你的理由解：OE及。尸相等理由：四边形/8。是平行四边形,BEDFOB=ODzFDO=匕EB。，乙E=乙F.:QBomDOF.：.OE=OF.7

10、平行四一边形的判定的应用熟练掌握判定定理是平行四边形的判定的哭键已学了平行四边形的五种判定方法，记忆时要注意技巧，其中三种方法都及边有笑:(1)一种哭于对边的位置关系(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)；(2)一种关于对边的数量关系(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)；(3)一种关于对边的数量及位置关系(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)平行四边形的判定方法是今后解决平行四边形问题的基础知识，应该熟练掌握考虑对边关系：证明两组对边分别平行；或两组对边,分别相等；或一组对边平行且相等；考虑对角关系：证明两组对角分别相等；考虑对角线关系：证明两条对角线互相平分【例7】如图请在下列四个

11、父系中，选出购个恰当的关系作为条件,推出四边形/8。是平行四边形并予以证明,(写出一种即可)关系：(T)ADWBC/8=CD/=/0，n8+nC=180.已知：在四边形/8。中；求证：四边形/8。是平行四边形分析：选用关系时证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；选用关系时证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；选用关系时，证明一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形；选用关系时证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形.解：已知：均可其余均不可以举例如下：已知：在四边形/8。中，=求证：四边形/8。是平行四边形证明：.O8U.nZ+n8=180.,.zC+z5=180.ABWQ.四边形/8

12、。是平行四边形8平行四边形的性质和判定的综合应用,平行四边形的性质和判定的应用主要有以下几种情况：(1)直接运用平行四边形的性质解决某些问题如求角的度数、线段的长、证明角相等或互补、证明线段相等或倍分关系；(2)判定一个四边形为平行四边形，从而得到两角相等、两直线平行等；(3)综合运用：先判定一个四边形是平行四边形然后再用平行四边形的性质去解决某些问题；或先运用平行四边形的性质得到线段平行、角相等等再判定一个四边形是平行四边形【例8】如图所示，在口/8。中，R尸分别是/1。，8。上的点,且/=。尸，AF及BE交手G,DF及CE交手H，连接FGGH，试问EF及GA是否互相平分？为什么?解:EF及

13、G互相平分理由：在C/8。中，：AD旦BC、AE=CF、：AE1CF.。”5.四边形/尸匕，8。尸都是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)s.AFCEBEWDF.四边形EG仍是平行四边形(平行四边形的定义)EF及G互相平分9三角形的中位线性质的应用三角形的中位线的性质不仅反映了线段间的位置父系，而且还揭示了线段间的数量余系，借助三角形中位线的性质可以进行几何求值（计算角度、求线段的长度）、证明（证明线段相等、证明线段的不等、证明线段的倍分关系、证明两角相等）、作图，且能解决生活实际问题技巧应用三角形中位线定理解决问题时，已知条件中往往给出两个中点，若已知条件只给出一个中点，必须

14、要证明另一个点也是中点，才能运用此定理【例9】在a8U中/8=12AC=10BC=9，是Be边上的高将a8U按如图所示的方式折叠，使点力及点。重合，折痕为EF、则。斤的周长为（）A9.5B10.5CI1D15.5解析：尸是a4/7折叠而形成的图形，:QED哲EAF.:/AEF=乙DEF.。是8。边上的高由折叠可知狂，：.EFCB.:/AEF=/B4BDE=乙DEF.B=4BDEjBE=DE=AE.E为/8的中点同理点F是的中点.星是a8U的中位线。行的周长为口尸的周长，11即AE+EF+AF=-X（/8+BC+AQ=-（12+9+10）=15.5.答案：D10 平行四边形的性质探究题平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在对边相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分几方面，因此由平行四边形可以得到很多相等线段、相等角所以，要学会利用对比的方法正确区分平行四边形的判定定理和性质定理，正确地运用相关的结论解决相关的问题技巧平行四边形的探究型问题，关键是根据平行四边形的性质和判定，构造出平行四边形【例10如图，已知等边“