2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 第六章 1-3 全概率公式 学案.docx

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1、1.3全概率公式学习目标1理解并掌握全概率公式2会用全概率公式解题.【导语】王先生从家到公司有两条路可以选择，其中第一条路拥堵的概率是0.3,第二条路拥堵的概率是0.4,王先生选择第一条路的概率是0.7,选择第二条路的概率是0.3,那么王先生上班迟到的概率是多少？这个概率怎么计算呢？一、全概率公式问题有三个箱子，分别编号为1,2,3,其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人先从三箱中随机取一箱，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.OOOOvuv直直五提示设事件3,表示“球取自i号箱(i=123),事件A表示“取得红球”，

2、其中S,B2,以两两互斥，A发生总是伴随着助，星,当之一同时发生，即A=SA1JB2AU&A,且8M，B2A,&A两两互斥，运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)=P(8|A)+P(%4)+P(&A),再对求和中的每一项运用乘法公式得11I2138P(A)=P(B)P(AB)+P(B2)P(AB2)+P(B3)P(AB3)=35+35+3x3T5Q因此，取得红球的概率【知识梳理】1 .设Q是试验E的样本空间，Bi,B?,&为样本空间Q的一组事件，若(I)BiBj=叁,其中ij(i,j=1,2,)，(2)fiU2U-U=则称办，&,，4为样本空间0的一个划分.条件表示每次试验B,2,，丛中只能发

3、生一个;条件表示每次试验B,B2,，区必有一个发生.2 .设Bi,&,，反为样本空间0的一个划分，若P(R)X)(i=1,2,，)则对任意一个事件A,有P(A)=苫P(B)PGW称上式为全概率公式.例1某次社会实践活动中，甲、乙两班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的3 1甲、乙两班的人数之比为5：3,其中甲班中女生占本乙班中女生占点求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.解如果用事件4表示“居民所遇到的一位同学是甲班的”，事件4表示“居民所遇到的一位同学是乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生，则0=AUA2,且4,Az互斥，BJQ,53由题意可知，P()=

4、,P(A2)且P(BIA1)=,P(A2)=.53311由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(BA1)+P(A2)P(BH2)=+7=030JZ反思感悟两个事件的全概率问题求解策略(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如4,(或A与彳).(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率.(3)求和：所求事件的概率P(B)=P(A1)P(BA1)+P(A2)P(BIA2).跟踪训练1某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06,乙厂每箱装120个，废品率为0.05,求：(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个

5、为废品的概率.解记事件4,5分别为“甲、乙两厂的产品”，事件C为“废品，则。=AU8,且4,B互斥，由题意，得P(A)=I=|,P(B)=I=|,P(QA)=O.06,P(C18)=0.05,由全概率公式，得P(C)=P(A)P(CIA)+P(B)P(CB)=30X1005(2)P(A)=30)oo+2OX120=020X1204P=30X100+20X120=不P(QA)=O.06,P(QB)=Og由全概率公式，得P(C)=P(A)P(QA)+P(B)P(qB)=j-+-=二、全概率公式的应用例2假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示:品牌甲乙其他市场占有率50%30%

6、20%优质率95%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率.解用事件A,A2,4分别表示“买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌”，事件8表示“买到的是优质品“，则。=A1UA2UA3,且A,A2,4两两互斥，依题意，可得P(A1)=0.5,P(A2)=OJ,P(A3)=02,且=(B1AI)=O.95,P(A2)=0.9,P(BA3)=O.7,由全概率公式，得P(B)=P(AI)P(B1AI)+P(A2)P(BIA2)+P(A3)P(BIA3)=0.50.950.30.90.20.7=0.885.反思感悟当直接求事件A发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把

7、事件4分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率.跟踪训练2甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品.(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率.XX7解事件”从甲箱中任取2个产品”包含的样本点数为&=亍=28,事件“这2个产品都是次品”包含的样本点数为G=3,这2个产品都是次品的概率为1(2)设事件A为“从乙箱中取出的1个产品是正品”，事件当为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件良为“从甲箱中取出1个正品1个次品“，事件以为“从甲箱中取出2个产品都是

8、次品”，则事件5、事件昆、事件以两两互斥.C?5C1C115C?3P(S)=4=莉，)=-f=2S尸(&)=&=丞，2-35-94-959155347P()=P()P(A)+P(B2)P(A2)+P(B3)P(AB3)=4328928x9=T2*三、贝叶斯公式【知识梳理】设3,&,&为样本空间0的一个划分，若P(A)X),P(Bi)0(i=1,2,，)则P(BiH)=/(眦如,称上式为贝叶斯公式.MP(Bj)P(A1Bj)例3设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车为0.01,今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率.解设事件8表示“中途停车修

9、理“，事件4表示“经过的是货车”，事件上表示“经过的是客车”，则B=A风48,由贝叶斯公式得W=丽丽篇镖联I0.02=21=0.8.30.02+j0.01反思感悟贝叶斯公式的理解公式P(A1=号黑=喘警i反映了P(AiB),P(Ai),P(AII8),P(BH),P(B)之间的互化关系.(2)贝叶斯公式反映了事件4发生的可能在各种可能原因中的比重.跟踪训练3设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%,35%,40%,它们的次品率依次为5%,4%,2%.现从这批工件中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的

10、概率.(精确到0.01)解(1)设事件8,B2,B3分别表示“取出的工件是甲、乙、丙车间生产的“，事件A表示“取到的是次品”.易知B,B2,当两两互斥，根据全概率公式，可得P(A)=P(Bi)P(ABi)=0.25X0.05+0.350.04+0.4X0.02=0.0345.故取到次品的概率为0.0345.c、WR小P(A1)P(BI)P(A网)0.25X0.05_P(BIA)-P一尸-0.0345。.故已知取到的是次品，则它是甲车间生产的概率约为0.36.课堂小结1 .知识清单：全概率公式.2 .方法将纳：化整为零.3 .常见误区：事件拆分不合理或不全面.随堂演练1 .有朋自远方来，某人乘火

11、车、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.1,0.4,迟到的概率分别为0.25,0.1,0,则他迟到的概率为()A.0.65B.0.085C.0.145D.0答案B解析设事件A表示“他乘火车来”，事件4表示“他乘汽车来”，事件4表示“他乘飞机来”，事件5表示“他迟到”.3则A1,A2,4构成一个样本空间，由全概率公式得P(B)=EP(Af)P(BIAi)=0.30.25+0.1X0.1+0.40=0.085.2 .两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04,第二台的废品率为0.07,加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件数是第二台加工零件数的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为()A

12、.0.21B.0.06C.0.94D.0.95答案D解析令事件8表示“取到的零件为合格品”，事件Aj表示“零件为第i台机床的产品”，i=1,2.由全概率公式得21P(B)=P(A1)P(BIAi)+P(A2)P(BIA2)=WX0.96+?X0.93=0.95.3 .盒中有。个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球C个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是()bhA+b+cBaTcb+ca-irba+力+c答案C解析设事件A表示“第一次抽出的是黑球”，事件8表示“第二次抽出的是黑球“，则B=AB+Tb,由全概率公式P(B)=P(A)P(BIA)+P(T)P(BT).由题意得尸(4)=备p(8a)=MP(A)=7P(B1A)=+i+c所以P(B)=3+bi+(+c)+g+b)沙b+c)=4 .甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为.13答案S解析设事件A表示“从乙袋中取出的是白球”，事件3表示“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i=0,1,2.由全概率公式P(A)=P(Bo)P(AIBo)+P(B1)P(A)+P(B2)P(AIB2)Ci4C.Ci5C？6_13一C门O+c110tC10-25