从具体到抽象感悟模型意识--以“植树问题”单元整体教学为例.docx

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1、从具体到抽象，感悟模型意识一以“植树问题”单元整体教学为例一、教学目标分析1 .模型思想的体验与探究在植树问题的教学中，模型思想是一个核心概念。模型思想不仅是学生理解数学与现实世界联系的桥梁，而且是培养学生推理能力、概括能力和解决问题能力的关键。例如，当面对一个实际的植树问题，学生首先通过观察、猜测、试验和推理等活动，对问题进行初步的探究。在这个过程中，学生可以初步体会到数学模型的思想，即如何将实际问题抽象为一个数学问题，然后利用数学工具进行求解。2 .有效方法的探索与实践教学过程中，学生需要探索和实践解决植树问题的有效方法。一个重要的方法是画线段图。例如，在解决线段型植树问题时，学生可以通过

2、画线段图来直观地表示树的位置和间隔。这种方法不仅可以帮助学生直观地理解问题，而且可以培养他们探索解决问题的能力。同时，通过对比和分析不同类型的植树问题，学生还可以深入理解这些问题之间的异同，从而更好地掌握植树问题的解决方法。3 .实际问题解决能力的培养植树问题虽然是一个数学问题，但其背后蕴含了许多实际生活中的问题。例如，装路灯、打木桩、锯木头和敲钟等问题都可以看作是植树问题的变式。因此，教学过程中，教师需要引导学生尝试用植树问题的方法来解决这些实际问题。这不仅可以帮助学生更好地理解和掌握植树问题的模型思想，而且可以培养他们解决实际问题的能力。例如，当面对一个装路灯的问题时，学生可以首先将其抽象

3、为一个线段型植树问题，然后利用植树问题的方法进行求解。这种方法不仅可以帮助学生快速有效地解决问题，而且可以培养他们的实际应用意识和创新思维。二、教学内容分析1 .植树问题的基础模型与变式线段型植树问题线段型植树问题是植树问题的基础模型，主要涉及到在一定的线路上，根据总路程、间隔长和棵数进行植树的问题。在此模型中，学生需要理解两种基本情境：第一种是道路的一边两端都栽的情境，这是最基本的模型，例如：在一个10米的线段上每隔2米种一棵树，这种情境下，学生需要理解如何均匀分配树的位置，并计算出总共需要种多少棵树。第二种情境是道路的一边两端不栽的情境，这是对基础模型的一种突破。例如：在一个10米的线段上

4、每隔2米种一棵树，但两端不栽，这种情境下，学生需要掌握如何调整树的数量。环型植树问题环型植树问题是植树问题基础模型的一种变式。与线段型不同的是，这种问题考虑的是一个闭合的环形路线。例如：在一个圆形的公园路径上，每隔一定距离种植一棵树，要求整个路径上的树均匀分布。这种模型的难点在于学生需要考虑如何确保第一棵树和最后一棵树之间的距离与其他间隔保持一致。这要求学生不仅要理解线段型植树问题的基本原理，还需要掌握如何将其应用到环形结构上。通过对这两种模型的学习，学生可以深入理解植树问题的数学本质，并掌握解决这类问题的基本方法。同时，通过对比和分析线段型和环型的异同，学生还可以更好地领会这两种模型之间的联

5、系与区别,从而建立一个结构化的知识网络。2 .问题的核心与关键点与间隔的概念与对应关系在植树问题中，点与间隔是两个基本的概念。点代表了树的位置，而间隔则代表了相邻两棵树之间的距离。这种现象在生活中是非常普遍的，例如，当我们在道路上设置路灯或在园林中种植树木时，都需要考虑如何均匀地分布这些点，以确保间隔的一致性。因此，理解点与间隔的概念，以及它们之间的对应关系，是解决植树问题的关键。例如，当我们想要在一个10米的线段上均匀地种5棵树时，我们首先需要确定每两棵树之间的间隔，然后根据这个间隔来确定每棵树的位置。植树问题模型背后的规律植树问题的核心在于理解棵数与间隔数之间的关系。有时候，我们会发现棵数

6、与间隔数相等，而有时则不相等。这背后的规律是什么呢？实际上，这与道路的两端是否种树有关。当道路的两端都种树时，棵树比间隔数多1；而当道路的两端不种树时，棵数则比间隔数少Io通过对这一规律的理解，学生可以更加灵活地解决各种类型的植树问题。利用植树问题模型解决实际问题的探究植树问题不仅仅是一个纯粹的数学问题，它在实际生活中也有着广泛的应用。例如，当城市规划者在设计公园或道路时，他们需要考虑如何均匀地布置树木、灯柱或其他设施。通过学习植树问题，学生可以更好地理解这些实际问题背后的数学原理，并尝试用所学知识去解决它们。此外，植树问题还可以延伸到其他领域，如音乐中的节奏、艺术中的点线与空间等，这都为学生

7、提供了探究与实践的机会。三、教学方法与建议1实际问题的数学化：从生活情境到数学问题数学是一种工具，其目的是为了帮助我们更好地理解和描述现实世界。而在教育的过程中，我们需要激发学生对数学的兴趣和应用意识，使其能够在探索真实情境中发现问题、提出问题、分析问题并解决问题。因此，将生活情境转化为数学问题是学生探究的起点，也是建立数学模型的基础。在植树问题的教学中，为了帮助学生更快地理解间距和间隔数的概念，可以采用学生熟悉的排队问题作为入手点。例如，教师可以提出一个问题：如果5个学生站成一排，会有多少个空隙？学生根据已有的经验进行猜测，并通过实际的模拟操作来验证自己的答案。在此过程中，学生能够深入地体验

8、到点与间隔之间的关系，并开始思考这种关系在实际生活中的应用。此外，教师还可以引入更多的生活中的实例，如排队买票、车辆停放、人群分布等，让学生自主发现这些情境中的点和间隔，并尝试将这些情境数学化，提炼出相关的数学模型。这样，不仅可以帮助学生更好地理解数学概念和方法，还能培养他们的观察力、思考力和创新能力。2 .数学问题的模型化：通过抽象、归纳提炼数学模型模型化是数学中一个核心的概念。将实际问题转化为数学问题后,进一步地对这些数学问题进行抽象、归纳，从而提炼出数学模型，这是数学探究的关键环节。这个过程需要学生对问题进行深入的思考，挖掘问题的本质，然后通过符号化的方法，形成一个可以描述和解决问题的数

9、学结构。在植树问题中，学生首先需要了解点和间隔的概念，然后通过对比不同的植树问题，如线段型和环型，来抽象和归纳其中的数学规律。例如，对于线段型植树问题，学生可以观察到当植树的数量增加时，间隔数也随之增加,但增加的模式是有规律的。通过观察、对比和归纳，学生可以提炼出一个描述线段型植树问题的数学模型。模型化的过程还需要学生对问题进行符号化的描述。例如，将植树的数量表示为n,间隔数表示为m,然后建立n和m之间的关系式。这不仅可以帮助学生更清晰地理解问题的本质，还能为后续的数学分析和求解提供基础。模型化是一个从具体到抽象，再从抽象到具体的过程。在这个过程中，学生需要不断地观察、对比、思考和归纳，从而提

10、炼出一个能够描述和解决问题的数学模型。而教师的角色是为学生提供必要的指导和支持，帮助他们更好地完成这一过程，真正实现数学的应用和创新。3 .数学模型的应用：基于问题链的深入理解与实践数学模型的真正价值在于其应用。但如何确保学生能够准确、有效地运用数学模型来解决实际问题呢？答案在于建立一个基于问题链的深入理解与实践的教学方法。问题链是一系列相互关联的问题，它们都可以使用同一个数学模型来解决。通过问题链，学生不仅可以加深对模型的理解，还可以锻炼其应用能力，体验到数学模型的普适性和应用价值。以植树问题为例，教师可以首先引入一个基本的线段型植树问题，让学生使用数学模型进行求解。然后，教师可以逐渐引入其

11、他与之相关的问题，如环型植树问题、装路灯问题、打木桩问题等。这些问题都有着相似的结构和规律，都可以使用植树问题的数学模型来解决。在这一过程中，学生会发现，尽管这些问题的背景和情境各不相同，但它们的核心都是树和间距的关系。这样，学生就可以深入理解并掌握植树问题模型背后的规律，从而更加自信地应用这一模型来解决实际问题。基于问题链的教学方法还可以帮助学生发现生活中的各种看得见的树、“看不见的树和“听得见的树。例如，锯木头问题中的“锯口就是一个看不见的树，而敲钟问题中的钟声则是一个听得见的树。这样，学生就可以更加深入地理解和掌握植树问题的数学模型,并在实际生活中找到更多的应用场景。四、具体教学实施方案五、具体课时设计六、结论