04 相似三角形+范朝晖.docx

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1、4相似三角形对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似三角形对应边的比，叫做相似比（或相似系数）.判定三角形相似的方法，有定理1平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.定理2如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似.判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且对应夹角相等,那么这两个三角形相似.判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这

2、两个三角形相似.直角三角形有一个特殊的角一一直角，因而对于一般的相似三角形的判定方法中，现在已经确定了一个角对应相等，只需再寻求其余一个条件，即可判定两个直角三角形相似.相似三角形有如下重要性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.相似三角形的对应边上的重要线段（如中线、高等）成比例，且等于相似比；对应角的平分线成比例，且等于相似比.相似三角形的面积的比等于相似比的平方.研究比例线段是研究相似三角形的一个重要内容.比例线段产生的途径主要有：（1）平行线截割平行线有一个重要性质：过一点三条直线截两条平行直线，截得的线段对应成比例；（2）角平分线定理；（3）面积比式（包括后面的共边比例定理，共角

3、比例定理）；（4）线段等积式变形（包括后面的梅涅劳斯定理、塞瓦定理）.在讨论有关比例线段时，还要注意比例定理的灵活运用.例1如图4-1,P为AABC内任一点，过P作AO、BE、C户分别与BC、AC.AB交于。、E、F.4TPDPEPFx求证：(1)+=1；ADBECF,八APBPCPCADBECF图4-1证明（1）过P作MN6C交A5、AC于M、M则=ADBDDC,.k.m,+PDBCMN由分比性质，有一=.ADBC又由MNBC有MP+PN_MNBD+DCBCPEPNPE_PM茄一茄FCBCVPDPEPFBe-MNPNPMt故+=+=1ADBECFBCBCBC另证转换为面积比，有PDPEPFS

4、MBC,S&PAC.SMAB_SA8C_1-I1-h-1AZ）BECFSMBCS.bcabc,asc（2）由=AD-PD_SMBCSAPBCadA。sabc及BP_SMBCSAPACBESMBCCP_SAXBCS&PABCF-S5tjABC得A0+BP+CP_3SAXBC_SAPBCSA曰C-S&pab_2AOBECFSmBC例2如图4-2,是aABC的高AD上的任一点，BH.C分别交AC、于反F.求证：NEDH=NFDH.（1985年扬州市竞赛题，第26届加拿大奥林匹克题）图4-2证明过A作BC的平行线分别交CP、DF.DE、AE的延长线于Q、K、G、P、,分别过“、E、尸的三条直线都截HC

5、于8、。、C三点，从而，有BDAP =CDAQ一CDAG =BCAP生=超BDAK由XX，得AC： =1,WAG=AK,AK利用RtDKRtDG,即有NEDH=NFDH.例3如图4-3,设P是等边445C的边BC上任一点，连AP,作AP的中垂线交A3、AC于M、N.证明：BPPC=BMCN.（1994年安徽省竞赛题）图4-3证明连PM、PN.因MN是AP的中垂线，则aMPN02M4N,有NMPN=NMAN=60。.又NBMP=I800-N8-NBPM=I20/8PM=I20。一(180NwPN-NNPC)=120-(120。一NNPC)=NNPC.则有ABPMsCNP.故BPPC=BMCN.例

6、4如图4-4,在锐角AABC中，。、E、尸、分别是三条高AO、BE、C尸的垂足，连DE、EF、FD,求证：ADECsMEFsADBF.图44证明设NcoE=,ZEF=,NBFD=,则由例2的结论，知NBo尸=,ZDEC=,ZFE=.又N3AC=1800-B-,NABC=I800-y,ZACB=180o-,则NB4C+NA5C+NACB=540o-2(a+)=180,即a+y=18(,从而，推知N3AC=a,ZBC=,NACB=.故DECsAAEFsADBF.例5如图4-5,在AABC中，AB=AC,。是底边上一点，E是线段AD上一点，且NHED=2ZCEd=ZBAC.求证：BD=3CD.(19

7、92年全国联赛题，同3中例4)图4-5证明过。作。尸CA交AB于尸，在BO上取点G,BG=DC,连结4G、FG.由。尸CA,有NBFD=NBAC,FB=FD.XAB=ACfZABG=ZACd,BG=DC,矢口ZA3G02ACO.于是，AG=ADfZFAG=ZEAC.而NABE=NBED-/BAE=NBAC-NBAE=NEAC=NFDA,APppAf注意到NAAE公用，则445ESZXADP,即有生=2二，从而上=吧.ABADAGAC又NFAG=NEAC,故尸AGSZE4C,ZAFG=ZAEC.从而NBFG=NDEC=12ZBED=-.即有BG=GD,故BD=2CD.2NBAC=2/BFD,则4

8、3尸G0ZO产G例6锐角的三条高44、BBi、CG的中点分别为A2、B2、C2,试求N%ACz+NC2BiA2+ZA2CiB2.（第22届全俄奥林匹克题）图4-6解先求N324C2，连4以、A1C1f延长4加2至厅2，使*282=4加2，延长A1C2至C*2，使C2C2=AiC2,连CC2、Bz2Bv则C2CiC2iCC2B2B1B2AAiBBz,因此(*)(*)ZC2C11=ZC1A1/y=A1C=ZAZB2B1Ai=ZBiA1C,H1B2=A1B,CiC2=A1C.其中(*)由本节中例2的结论即得，(*)由本节中例4的结论即得.又由本节中例4的结论，有ABAiGsAkBpAiC,因此BA_

9、旦A,即GG_BIA,GA-CActAi注意到NAiGC2=NA由I2,故4Ci4C2sZ5用M.即有NC2C=NA828.于是,ZB2A1C2=B2A1B1+CiA1Ci-ZB1A1Ci=NB2AiB1+ZA1H2Bi一(180o-2ZA)=(180o-Z)-(180o-2NA)=N4.同理，ZC2BM2=ZB,ZA2CiB2=ZC.故NB2A1C2+ZC2B12+NA2C步2=180例7如图4-7,是AAAC内一点，过P分别作直线平行于aABC各边，所成的小三角形St2和t3的面积分别是4、9和49.求aAAC的面积.（第2届美国邀请赛题）图4-7解如图4-7,设点R、T在AB上，N、E在

10、BC上，。、M在AC上，KMN/AB,JDC,REACf贝IJPENs4MCNsXMDPS4DTRPTSABC.设MP=P,PN=Q,RT=r,AB=C,SMBC=S,则即忑=一正=-4s=c以上三式相加，得2+3+7p+q+r故Sbc=S=(2+3+7)2=144.例8如图4-8,ZXUVW与AXYZ的边分别交于A、B、C、D、E、F.廿ABCDEF若=UVVWWU求证:BCDEXYYZFAZX（2003年武汉市竞赛题）图4-8证明过点A、8分别作UW、WV的平行线，交点为P.连PE、PD,则A5PsuvW.从而空=BPPAUVVWWU,rABCDEF由题设=UVVWWUCD=BP,EF=P

11、A.从而CDBP,EFPA.连PC、PF,则由aSPCgZDCP,AFPEPF,知8CPD,尸A1EP(亦可直接由平行四边形性质得到），于是PDEXYZ.EPZX1UPDDE因此一=XYYZBC=DE=FAXYYZZX例9如图4-9,垂线，交AB于R,己知P为RtZ45C的斜边BC上一点，。为尸。的中点，过P作AC的为AR的中点，过向C所在一侧作射线N_14A,证明：射线”N上存在一点G,使AG=C。，BG=BQ.（2002年全国联赛题）图4-9证明首先由8CAB,BRBP,则AH=-(AB-BR)-(BC-BP)=CQ.22于是，以A为圆心，C。为半径画圆弧必交N”上一点G,且有4G=CQ.

12、连5G,因NB4C=N3PR=90。，/3公用，贝JRtZ3PRSRt泌C,所以BRBA=BPBc又CQ=QP,AH=HR,所以上式即为(BH-AH)(BH+AH)=(BQ-CQ)(BQ+CQ)即BH2-AH2=BQ2-CQi.而C2=AG2=AH2+“G2,贝IJBH2=BQ2-(.CQ2-AH2)=BQi-HG2,即BG2=BH2-HG2=BQi.故BG=BQ.所以在MV上存在一点G,使AG=G2，BG=BQ.prn例10如图4-10,AO是锐角边BC上的高，E是AD上的一点且满足C-=J,过EDDB。作。尸_1BE于凡求证：NAPC=90。.(1999年上海中学数学实验班选拔赛题)图4-

13、10贝IJNEOF=N户80,从而证明因DF为RtDE斜边BE上的高,EDDBRtZXE/Z)SRt)尸8,-.EFDFyAEAEEDAEDB所以=.EEDEFEDDFAECDDBEFDBDF.AECDC即一EFDF又NAE尸=90。+NEO尸=NC&尸.由、可知XkERsXCDF,ZAFE=ZCFd,NA尸C=No尸E=90.例11如图4-11,A&是RtAABC斜边BC上的高，P是Ao的中点，连结BP并延长交AC于已知AC：B=k,求AE：EC.（1999年山东省竞赛题）图4-11解由题设，注意到NABC或NC公用，贝IJRtDARtBCRtDC,得BDABAD令BIJ=Af贝jAD=k,

14、DC=k2A.从而,ADACDC,=,=k.BDa延长3E到户，使A尸BC,贝IJ4EAFECBCAEFsMEB,从而一=在RtZ4尸P和RtZOBP中，HAP=PDtNAPF=NDPB,所以Rt4FPRtDP,即有4尸二BO.习题41 .设M、N为三角形人BC的边BC上的两点，且满足BM=MN=WG一平行于4C的直线分别交A4、AM.AN于。、E、F.求证：EF=3DE.（1994年澳大利亚奥林匹克题）2 .已知：在AABC中，4C，分别在AC、AC和AA上，BB、Ce相交于上八Wn40BOCOCC.ABOCOi,八中/E说一1点O,并且11=92.试求的值.（第IO届美国邀I有赛OA1OBOCOAOBOC3.令尸是aABC的一个内点,。为各线段之长.己