11 四边形的基本概念与性质+黄海良.docx

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1、四边形的基本概念与性质平面四边形有三种类型：凸、凹、折四边形.凸四边形(每一个内角均小于平角)、凹四边形(有一个内角大于平角)和折四边形(有两条边相交).在本书中重点讨论凸四边形和特殊凸四边形.对于平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊凸四边形，它们有着一系列美妙的性质，我们将在以的各节分别介绍.平面四边形有四条边，四个内角.凸四边形的全等是要求对应边都相等且对应角都相等，凸四边形的相似是要求对应角都相等且对应边都成比例.凸四边形的内角和为360,其外角和也为360。.连接凸四边形两个不相邻的顶点的线段称为四边形的对角线.凸四边形的每条对角线将四边形分割成两个三角形.因此，我们研究平面四边

2、形时，常通过作辅助线把四边形转化为三角形，运用三角形知识来研究四边形问题.性质1在凸四边形A8CD中，四条边和两条对角线的长分别记为A8=,BC=b,CD=c,DA=d,AC=e,BD=f,两条对角线夹角为。，则(1) Sabcd=sin;(111)(2) Sabcd=yje2f2-(a2+c2-b2-d2)2.(11-2)图11-1证明：设AC与8。交于O,如图111.(1)Sabcd=Saaob+SaBOC+5&c。+叉aod=-BOsn-(AOOC)+-DOsin6(OC+AO)22=efsin6.(2)注意到三角形的余弦定理，令NAO8=6,有a2=OA2+08220408COSO,1

3、=OB1-OC120B-OCcos(180o-)=6B2+OC2+2OBOCcos0,c2=OC1-OD2-2OGODcosO,胡=Or2+OA2+204ODcosO,从而a2-c2-b2d1=-2efcosQ.当NBoC=。时，则有4十d一一$=2dcos0.于是(+一炉一/)2=4伊cos2,亦即4e22sin20=4e2/2-(解+d一仅一/)2.再注意到(1)即有4呼sin?。=1GS2abcd.故SABCD=4e2f2-(a2+c2-b2-d2)2.性质2凸（或凹）四边形一对对角的平分线交成的角，有一个等于另一对对角（内角）的差的一半;折四边形一对对角的平分线交成的角，有一个等于另一

4、对对角（内角）的和的一半.证明：如图11-2(1),2=(NAEB-ECF)+(180o-ZAFC)=180o-(ZB+ZEAB)-ZECF+180o-360o-(NFAD+ND+NDCE)=ZD-ZB.如图11一2(2),2H=NBEF-NECF+NAFC=(ZB+ZEAB)-ZECF-(ZAEC-ZECF)=ZB+ZEAB+ZAEC-ZBCD=2(NB+NEAB)(NB+NO+NBAD)=ZB-ZD.如图112(3),+-ZC=-ZA+ZD,+-ZA=-ZC+ZB.2222故2。=N8+ND完全四边形两两相交且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形（或一个凸四边形的两对对边延长

5、相交所得的图形）.六个交点可分成三对相对的顶点，它们的连线是三条对角线.如图11-3,AC,BD,EF是三条对角线.完全四边形ABCDEE中，有凸四边形ABCz）,有凹四边形AECF,有折四边形8EZ）F,还有四个三角形4AEZABEC,FDC,AABF.图11-3例1如图114,四边形48CO中，NBAo=90,AB=BC=23,AC=6,AD=3,则Co的长是ADAAB.42C.30（2001年江苏省竞赛题）图11-4D.33解：选。.理由：过B作BE_1AC于E,则AE=3,BE=B从而NBAE=30,NoAE=60.139过Z)作。凡1AC于E则NAD尸=30,A尸=-AO=.从而Cr

6、二一.222在RtZXAO/中，可得在RtZXCD/中，可得DF=AD2-AF2=9-=3.=AE=EC,知另解：过8作Bf11AC于E,则4E=3,连瓦可推证得为正三角形，则EDA。C为直角三角形，CZ）=JAC2_A12=3后例2如图11一5,四边形ABCo中，ZA=60o,ZB=ZD=90o,AD=S,AB=I,则8C+CO等于（）图11-5A.63B.53（2.46D.33（2003年山东省竞赛题）解：选R理由：延长A。、BC相交于E在MZA8E中，由NA=60,有AE=2AB=14,从而DE=AE-AD=6,又可求得BE=7JJ.在Rt(?：中，可求得CQ=26CE=43.于是BC=

7、BE-CE=36故BC+CD=56例3(1)如图11-6,已知四边形ABCO中，AB=AD,NBAO=60,NBCO=120.证明：BC+DC=AC.(2)如图11一7,四边形ABCD中，A8=8C,NA8C=60,P为四边形ABCz)内一点，且NAPz)=I20,证明：PA+PD+PCBD.(2000年江苏省竞赛题)图11-6证明：(1)如图11一6,延长BC至瓦使CE=C。，连。E.由NBCO=I20,知/OCE=60又由CE=CD,知aCOE为等边三角形.即有OE=Cz)=CE,ZCDE=60.又因AB=AO,NAAO=60,连80,知AABO为等边三角形.即AB=AO=BO,NBOA=

8、60.连AC,在aACD和aBEO中，由NAOB=NCDE,知ZADC=ZADB+ZBDC=NCDE+ZBDC=ZBDE.又4O=BO,CD=DE,故4ACD%4BED.于是AC=BE=BC+CE=BC+CD.即BC+DC=AC.(2)如图11一7,在四边形ABC。外侧作正aABTX由NAPo=I20,知四边形AP)8符合(1)的条件，连8P,WJB,P=AP+PD.连8C,则易知BCWP+PC,得8CWAP+PO+PC下面证明BD=B,C.AB。是正三角形，故AB=AO,ZD=60o.因连AC,又易知aABC为正三角形，故AC=AB,NBAe=60.在aABO和4AC9,NOAB=Nz)AC

9、+N8AC=NOAC+NZM8=N8AC,AB=AC,AD=AB,故AABDACB,.从而BD=BC故PA+PD+PCBD.例4如图11一8,在四边形ABCO中，NA=NC=90。，AB=AD若这个四边形面积为12,则8C+CO二.(1999年山东省竞赛题)图11-8解：填4J1理由：连BQ,由NA=90,AB=AD,则/480=45,故BD=屈AB由NC=90。，知BD=JBC2+C2.注意到Sa8Cd=Sz4bd+Sasco=BD-BD+BCCD222=-(BC2+CD2)+-BCCD42=(BC+CD)2=12,从而BC+CO=46.4例5如图11一9,四边形ABC。的对角线分四边形所得

10、的4个三角形面积为Smos=52,Sboc=26,S“00=34,Swm=68.又E、RG、H分别是边AB.BC、CD和DA的第一个2等分点、第1个3等分点、第1个4等分点和第1个5等分点，则Sf5边形打汨二.（第14届“五羊杯”竞赛题）图11-9解:填93.7.理由:连BH,则2=一(52+68)=48.5同理S.尸二?%*=(26+52)=13,121Scfg-5Sbcd=-(34+26)=10,133sdgh=smcd=(68+34)=15.3.从而S网边形fg二S四边形(S2ahe+Swef+Scfg+S4ixjh)=93.7.例6如图1110,在四边形ABCO中，AD=DC=,NDA

11、B=NDCB=90,BC、AO的延长线交于点P.,求48Smas的最小值(1994年四川省竞赛题)图11-10CDPC解：设OP=X,则.由RXPC。SM有一=,ABPA则AB=CDPAPC二(+1)22(x-1)1(X+1从而ABSM5AB2PA=E(X+1)2令y=1得x2+2(1-y)x+(1+2y)=0,2(x7)因X是实数，则A=4(1-y)2-4(1+2y)=4y(y-4)20.而)0,从而y，4.故ABS也f的最小值是4.例7完全四边形ABCDEF的三条对角线AO,BF,CE的中点M、N、P共线(称为牛顿线).图11-11证明：如图11-11,分别取CZXBD.BC的中点Q、R、

12、S,则在aACO中，M、R、。三点共线;在aBC尸中，S、R、N三点共线；在48CE中，S、Q、P三点共线.由平行线性质，有MQACNRFDPSEBMRAByNSFCPQED对48Co及截线A尸E应用梅涅劳斯定理，有CA殷丝=1,即丝世型=1.ABEDFCMRPQNS再对AQRS应用梅涅劳斯定理的逆定理，知M,MP三点共线.例8如图在完全四边形ABCOE/中，若B尸与CE所在直线相交于点G,直线AO与3F,CE分别交于点M,N,则空=也bm=bgcn=cgNAMAMFGFNEGE证明：对AABO及截线CNE和点F,分别应用梅涅劳期定理和塞瓦定理，有ACBEDN1ACBEDM1=1,=1.CBE

13、DNACBEDMA上述两式相除，即证得型=也.NAMA同理,对aABf及截线CEG和点。,对AACE及截线BFG和点。分别应用梅涅劳期定理和塞瓦定理,证得BMBGCNCGMFGFyNEGE注：题中三个比例式也可称为：A,D,M,MB,FfM,G；C,E,N,G分别为调和点列.习题111、如图所示，NA+N8+NC+ND+E+N尸+NG的值等于（）A.360oB.450oC.540oD.720o（2003年“7RU1博信利杯”全国联赛题）（第一题）2、如图，在四边形ABCD中，BOCDDA,。为AB的中点，连OC,OD.若/AOD=NDOC=NCOB60,则BC与8+0A的关系为（）.A.8C8

14、+OAB.8C=CO+OAC.8CVCo+OAD.不能确定（第2题）3、设在凸四边形中，经过一组对边中点的直线与两条对角线所成的角相等.求证：这两条对角线相等.（第24届全俄数学奥林匹克题）4、给定凸四边形ABCo与形内一点O,且NAOB=NCOO=120,且AO=B0,CO=OD设K、1、M分别为线段A8,BC,8的中点.求证：（1）K1=1Mx（2）ZM1K为等边三角形.（第58届莫斯科数学奥林匹克题）5、在凸四边形ABC。中，ZABC=30o,ZADC=60o,又A。=。C求证：8D2=A+BC2.（1996年北京市竞赛题）6、已知四边形ABCz）的面积为32,AB,CD,AC的长都是整数，且它们的和为16.（1）这样的四边形有几个？（2）求这样的的四边形边长的平方和的最小值.（2003年全国联赛题）7、设四边形的4条边长依次为、b、c、d,它的面积为S.证明：SW（a+c）（b+d）.（第16届莫斯科数4学奥林匹克题）8、M和P是凸四边形ABCD的边BC和CD的中点.已知:4M+AP=0.求证：四边形ABCD的面积小于（第14届全俄数学奥林匹克题）