专题1.5 主元素方法+刘智勋.docx

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1、1.5主元素方法当一个代数式中含有两个或两个以上变量时，通常采取适当的变形，确定其中的一个变量为主变量，从主变量的角度来解决问题，这种方法就称为主元素方法.例1求方程Zv2+y2-2Xy4%30=0的正整数解.【解】原方程视为关于y的二次方程：j2-2x)+(2t-4x-30)=0j则=4/-4(*-4工-30)=434(4一2尸是一个完全平方数，知a一2产=9或25,由于X为正整数，故X=5或7.当=5时，原方程化为y2-10y=0,解得y=10,”=0；当x=7时，原方程化为产14)，+40=0.解得y=10,y2=4.所以，原方程的正整数解(x,y)为(5,10),(7,10),(7,4

2、).【注】本题也可以X为主元，读者不妨一试，例2若二次方程v2+2(2a-1)x+4-3)=0至少有一个整数根，求正整数a的值，(分析】本题可看作是关于%的一元二次方程,根据根的判别式及求根公式,能求出正整数。的值.再换一个角度看，若以。为主元，把它变形为关于。的一元一次方程，是不是也能解呢？【解法一】由题意得4=4(8o+1)是一个完全平方数，因8+1是奇数，故它一定是奇数的平方，设8+1=(2m+1)2(m为正整数)，解得将。的值代人原方程得为=一2+3,2mX.=-2一.由于为，X2中至少有一个为整数，故川4或(阳+1)4,又初为正整数，因此m=1,2,m+13,4,解得=1,3,6,1

3、0.【解法二】将原方程整理成关于。的方程。=(X#2),因。为正整数,故。0+11,(x+2)-(+2)2整理得f+2x-80,解得一4W4W2.14又因为X是整数，故x=-4,-3,-2,0,1,2,分别代人得。=1,6,10,3,1,得9。的值为13,6,10例3解方程/-2向2一工+3一百二O【分析】本题属于解高次方程，并且系数目是无理数，用因式分解方法很困难.仔细观察系数6和3,发现3=(6)2,这就给我们一个思路：把百看作一个元.【解】设Q=。，则原方程化为产一2加一工+/一=0,整理为关于。的方程，得/一(2d+iM+x4-=0,因式分解得67-(x2-x)67-(2+x+1)=O

4、故Q=X1-X或=2+x+1,即2一%一6=0或冗2+1-y3=0fe2zn11+43.-143-3解得X=或X=22【注】这里我们突破了常规思维，把石=。看作一个主元，这种把某个常数作为主元的方法虽然不常用,但有时却非常有效,【分析】解三元一次方程组，一般方法是消元、降次为一元一次方程，但是本题由于。，力，C三个字母系数的存在，使得计算非帝繁琐，但这三个方程非常有特点，方程的形式相似，不同的是方程中的系数由。换为4c,能否转换思路，把小力，c看作主元，将1,y,Z看作系数呢？【解】由题意得小b,C分别是关于，的方程=一2+三=1的三个不同实根，整理得户-z/2+Xrt2tx=abc=0,根据

5、韦达定理得，y=b+力c+c4z=a+b+c例5已知y=(2x5+2x4-53x3-57x+54产，求当X=g(j-1)时的函数值【分析】若直接将x=g(m-1)代入，必然很繁琐，适当变形得2x+1=,则2v2+2x-55=0,将，=2f+2-55作为主元，将原式化为，的形式，然后计算，将会使计算简化，【解】因=g(f-1),故2x+1=iTT,2+2-55=0,而(2x5+2453/57x+54)除以(2+2r-55)后所得的商式是aj+a-1.余式为-1,故y=(2x2+2-55)(+-1)-12,1=-1.例6求使不等式x2+px4x+p-3对满足OWPW4的实数P都成立的x的取值范围.

6、【分析】如果将不等式看作关于X的函数4力=f+(p-4)-p+30来解，由于已经知道P的取值范围求X的取值范围，而非已知X的取值范围求P的值.问题陷入僵局，换一个角度，以P为主元呢？【解】原不等式即x2+(-1)p4x30,令/(P)=(X1)p+f4x+3,这是/关于P的一次函数，因为0p4,由一次函数图象得.沏)0恒成立的条件是：f()0HU2-4x+30/(4)0x2-10解得x3或X1,且为整数，因此X4121,x5-14,x55.当右=5时，(1,1,1,2,5)是适合已知条件的一组数，可见X5的最大值为5.【注】此题有五个变量，利用排序，结合不等式和已知条件等式，将问题转化为以变量

7、芯为主元的等式或不等式是解题的关键.练习1.5x+y+z=31 .解方程，X2+y2+z2=3X3y3+z3=32 .若=K试求尸(一2一H的表达式3 .设,y,z均为实数，试求井物力=。+力2+。+力2+6+22尸+仇+3+02的最小值4 .若实数x,y满足X-3x+1=3jy+2-y,试求p=-y的最大值和最小值.5 .求满足下述条件的最小正实数k：对任意不小于攵的4个互不相同的实数、力、c、d,都存在一个排列p,q，1，s,使得方程(x2+px+4)(A2+n+s)=0有4个互不相同的实根.练习1.51 .由于(x+y+z)2=2+y2+z2+2(y+yz+zr)=9,又x+y+z=3,

8、x2y2z2=3,故孙+yz+zx=3,0由X3y3z32xyz=(xz)(x2+y1z2(x),+yzzx),所以qz=1,从而x,y,Z是方程3一3户+3/1=O的三个实根，此方程可化为(/-1)3=0,从而有三个等根x=y=z=1,且为唯一解。2 .令，=，则X=，从而/“)二，所以尸(_2-幻二4=-2二11+X1+r1+f1x1+x3 .设=x+y,6=y+z,c=x+z,则加,y,z)=022(c-2)2，11(c-2)2+(+/?+c),设d=+A那么/(,y，z)=-d2+(c-2)2+(J+等号在C=,d=,a=b=,即X=Z=,y=时取到777777-73(+7+2)，故不妨设4.由条件X+y=3(471+屈K=.则由可得x+y=a-a2+18a+540.182-6+2-9-27=0有2个非负根O，解得9t32149+31?,从而92a2-9-270最大值为9+3A，最小值为9+3历25.一方面若AV4,取“，b,ctd使得kW0,b,c,d4(d-)0且c2-4A4(c用0,因此两个方程、都有两个不同实根；其次，若两个方程与有公共根,则,；+0+=两式相减，可得夕=2二0,这时2+d+“o2+c+b=Od-c矛盾！从而与无相同实根。因此2=4为最小的正实数。