专题2.15 超越方程反解难巧妙构造变简单（解析版）.docx

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1、专题15超越方程反解难，巧妙构造变简单【题型综述】导数研究超越方程超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程.超越方程的求解无法利用代数几何来进行.大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解.在探求诸如/_6/+91-10=0,炉-2InX=X-26+2方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决.此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域.2、求导数，得单调区晌和极值点.3、画出函数草图.4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与X轴的交点情况求解.【典例指引】例1.已知函数/(

2、x)=+x1nx在X=C”处取得极小值.(1)求实数m的值；(2)设F(X)=X2+(-2)1nx-f(x),其导函数为尸(力，若尸(力的图象交X轴于两点C(X,0),0(/,0)且不:+1,因为函数/(X)在X=CA处取得极小值，所以r(1)=O,即+10c=+1=O,所以0=1,所以/(%)=1nx+2,当/(x)0B寸，xc-当/(x)O时，OVXVC-2所以力在(O5厂)上单调递减，在(。弋+8)上单调递增.所以/(力在X=Cq处取得极小值，符合题意.所以，=1.(2)由(1)知函数r(x)=2-21nx-.函数F(X)图象与尢轴交于两个不同的点C(X,0),。(占,0)，(x1x12

3、-21nx1-xi=0,x22-21nx2-2=0.两式相减得玉+X,=2叫Tnx2)+1百一%9r(x)=2x1.学*科网Xc,(X1+x2412(1nx1-Inx0)4F1=x1+x21=!-下解20%-岫即a32。.X1-X2X1+X2X2X+X2令f=,0%,0f1,即1时2吧)=0.x2“r+1/、2(71)ZX14(/1)令=IiV，=1.，f+1v7t(r1)2r(r+1)2又0z0,(/)在(U)上是增函数，则()(1)=0,从而知一一1-f2(13二皿)o,故尸，jo,即r(s)=0不成立.x+x-x22y故S不是尸(X)=O的根.学*科网例2.设函数=(1)当=3,b=2时

4、，求函数f(x)的单调区间；(2)令尸(x)=f(x)+0r2+q(o0和1(力(0,1(力)0的区间为单调增.区间，/(X)0:当*时,(x)当o=i时，一,君十升取得最大值彳，所以。之3(3)当=0：b=-1时，/(x)=1nx+x,由/(x)=wx,得InX+x=wx,又x0,所以w=1+处，X要使方程/(X)=F在区间1。上有唯一实数解,只需w=1+有唯一实数解X令g(x)=1+史(X0),.g(x)=1!,由g(x)0得OVX0；g(x)c,XXg()在区间1。上是增函数，在区间c。上是减函数.12+,故1w1+y./c、2g(1)=1gW)=1+,g(c)=1【方法点晴】本题主要考

5、查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题.利用导数研究函数/(力的单调性的步骤：确定函数/(X)的定义域；对“X)求导；令/(力0,解不等式得X的范围就是递增区间；令/(X)0,解不等式得X的范周就是递减区间.例3.已知函数f()=axe(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若关于X的不等式f(x)O得增区间，令f,(x)axexo=令Mx)=，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果.xexIxexIex试题解析：(Df,(x)=a(x+1)e当a。时，f(x)在(g.-1)上单调递减，在(1+=)单调递增；当aaxe%1nx+x-

6、4axeo=;PxeIxe1n+-4(x+1)(1nx+x-5)令h(x)=,则h(x)=-,学*科网2XXeXe,1令(x)=Inx+x-5,则(x)=-+10即(x)在(0,+8)上单调递增.X(3)=1n3-20,存在唯一的t(3,4),使得(t)=O.，当XW(O,t),()h()O=h(x)在(0,t)单调递增；当x(t,+8),巾()o=h(x)O=h(x)在(t,+8)单调递减.31n2-2In3-1Vh(1)=-0,h(2)-0,e2e3e且当X3时，h()0,32-1n2In3-121n2乂IM1)I=-，M2)=-h(3)=-,h(4)=-学*科网e2e3e4eIn3-12

7、-1n2故要使不等式IP(X)Iq(x)解集中有且只有两个整数，a的取值范围应为一-abf()=-33x2X由f(1)=+a=0,解得a=1.33(2)x2f(x)+-X3-+1kx,整理后得x?InX1=kx.所以X1nx/=k.331,12-1令g(x)=x1nx+-,Jg(x)1nx1-Inx+显然g(1)=0XX2X2当0x1时，g(x)1时，g(x)O,则为增函数.所以当X=I时，g(x)rnm=g=1，即g(X)的值域为1,+8)72,1_所以使方程Xf(X)+-X3-X+1=kx有实数解的k的取值范围k1.332.12019浙江台州上学期期末】设函数f(x)=c3XeR4(I)求

8、函数f(x)x=1处的切线方程；(II)若对任意的实数X,不等式f(x)a-2x恒成立，求实数a的最大值；(HI)设mx,若对任意的实数k,关于X的方程f(x)=kx+m有且只有两个不同的实根，求实数m的取值范围.【思路引导】(I)求出函数在x=1处的导数后可得切线方程.4(II)参变分离后求函数g(x)=-.3+2X的最小值可得a的最大值.4x4-43-4m(III)因为m=0,故f(x)=kx+m无零根，参变分离后考虑h(x)=的图像与直线y=k总有两个不同4x的交点，从而得到实数m的取值范围.【解析】(I)f()=X3-3x2f(1)=-2.且f(1)=,所以在x=1处的切线方程为y=-

9、2x+244(II)因为对任意的实数X,不等式f(x)3-2X恒成立.所以a4E.3.恒成立.44g(x)-x3+2x贝gx)=3.32+2=(x-1)(x22x-2)4=(-1)(x-13)(x-1+3b所以g(x)在(1-瓦1),(1+8+8)单调递境在(-8,1口),(1,1向单调递减所以g(x)min=ming(1-J5)4(1向1因为1-y,1(5是方程/2x.2=O的两根.所以xo3(2X()+2)ug(0)=-o+2xo=0(2x0+2)+2x0=(x+I)2-2x=-x+2x+1=-1.(其中x0=1所以a的最大值为-1.(I11)若对任意的实数k,关于X的方程小卜卜乂+有且只

10、有两个不同的实根，当x=0,得m=0,与已知矛盾4.3.4.3.uc、i-4x-4m._Eg_x-4x-4m.,所以k=-有两根，即V=与y=k有两个父点44a.43X.4x-4m3x-8x+4m令h(x)=,则h(x)=4x4xp(x)=3x4-8x34m,p(x)=12x2(x-2),则P(X)在(巴2)单调递减，(2,+g)单调递增，所以P(x)min=P(2)=4m.16(i)当4m-160时，即m4时，则h(x)O,即h(x)在(-8,0),。+8)单调递增，且当x(-8,o)时,h(x)的取值范围为R；当XE(0,+8)时，h(x)的取值范围为R此时对任意的实数k,原方程恒有且只有两个,不同的解.(ii)当0m4时，P(X)有两个非负根2,所以h(x)在(-8,0),OxJ,为，+8)单调递增，仅1)单调递减，所以当k(h(X2),h(X)时有4个交点，1一仅1减卜=22)有3个交点，均与题意不合，舍去.(iii)当m0时，贝IJP(X)