第03讲 函数概念把握好正确理解“三要素”.docx

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1、第03讲函数概念把握好，正确理解“三要素”典型例题【例1】已知二次函数/(x)=r2+2x+c的最小值为一1,且函数图像被X轴所截的线段长为2,求/(x)的解析式.【例2】设函数f(x)=x2-f对任意x3、(x/,+8/|-47Z,f(x,f(x-1)+4/(加)恒成立,则实数m的取值范围是.强化训练1 .求下列函数的值域:X2-X(1) y=-；x-x+iX+2+22.已知二次函数y=(x)的图像以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图像与直线j=x的两个交点间的距离为SJ(x)=fi(x)+f2(x).求函数/(x)的表达式；(2)证明：当。3时，关于X的方程f(x)=

2、f(a)有3个实数解.解答与过程【例1】【解法1】解得【解法3】像被X轴截得的线段长为2,故方程/(x)=0的两根为x12=-1aa=-C0(x)=r+2X同解法2得f(X)=O的两根为*2=一，1，可设/(x)=6f(x-)(-)x+1-11+1+1由f-|=-1可得a=,贝IJf(x)=x(x+2)=x2+2x.kaJ【解法4】设f(X)=c11a-1同解法2得/(X)=O的两根为X12=一一1,则aa-=0,得a=,则/(x)=(+1)2-1=x2+2x.【例2】【解法1】,ff1f(x,/(x-1)+4(w),2.-t-1-4w2(2-1)m(X-I)2-1+4(n2-1)即j-4%2

3、领P-2x-3,mxe%j?2)m22-4恒成立.XX0Ix)=1-4=-3fi+1+,.x,+coxxx3J3|_2g0)mig(H,*43-,即12-57(2设U=-,则()4m2-30=w?叵或肛,-立22me【解法2】m)不等式可化为f(x-1)+4(w)-/+4w2(x).0,即(X-I)2-1+4n211.22x+3人.1+4mz.令mx-4-+1+4w2x2-4m2.0m菽理,得I1-+Wx2-2x-3,X20,.)g(%)=2x+3,x,+oo2【评注】311恒成立问题，为此需求于是碉转化为对任意TV8卜-正+4，律)/、2式+33),.r1,_g(x)=,x-,0的最大值.X

4、12)3、I问题转化为对任意x一,+8,1-一+4m2.(x)恒成立后，可以用F面的方法求_2)nrg(x)二H,x3,+oo的最大值，从中读者可以体会对观察问题的不同视角可以呈X|_2)现不同的解题方法，值得比较品鉴。设f=2x+3,贝IJr6,+oo)z于是g()=h(t)=-.r6r9,+2一6t9/9、3:函数y=t+-在(6,oo)上是增函数,二当Z=6时，+=6+,而tfu2f1M=6+-62整理,得124-52-3.0,即(4/一3)(3加2+).o,解得_走_或m.2811.2z8-,1-4w.(X)max不等式可化为/(x-1)+4()-/-+4w2(x).0,rn)即(xI

5、)?一1+4根2-4一0+1+Am2X2-W.0nV整理,得1y+4?d2彳3.0,令产(X)=1y+4wx2,x3由于IJIJF(O)=-3(),因此F(X)的最小值不可能在函数图像的顶点处得到.为使F(x).O对任意x-,+1恒成立，必须使尸为最小值,如图3-1所2)示.【解法4】由题设,对任意x-,+V1-I-4m2(x),/(X-D+4/(W)恒成立,则对2Jn)3也成立.把X=代人不等式,得f-4病/(|),/(；)+46)X=不等式/(-I-f(x,/(x-1)+4/(/72)QQ1即-1-42+4w2,14zw2-4.(1)4m24440,式两边同乘以4m2,并整理得12m4-5

6、m2-3.0,即(W-3)(3m2+1)JH).W-30.解得肛,-或加孚.因此，实数m的取值范围是me强化训练1【解析】【解法1】(配方法)：Vy=I-一,而2-x+1=fx-1Jr-X+12J44【解法2(判别式法)：由y=厂得(-1)f+(1-y)+y=Oy=1时，x0,y1又xR.必须A=(1-y)2_4y(y-1)S),._；y?1.y1,.函数的值域为一一,113)【解法1】(分类讨论法)：当X=O时，y=0,当x0时，y=一一1由-0知，/1+-+Vxx.-1y0.当x3时,力(2)人(2)=42+:-80.当3时,在第一象限f3(x)的图像上存在一点(2/(2)在f2(x)图像的上方./(x)与(力的图像在第一象限有两个交点,即戈)=/(。)有2个正数解.因此方程/(x)=()有3个实数解.【解法2】由/(x)=()得/+g=+g,即(x)(+-.)=o得方程的一个解Q为=.方程x+=0化为2+。23一8=0,由。3,4=/+32。(),得ax-a2-ya4+32a-a2+ya4+32aX2=,X3=x20,x30/.x1WX2且工2x31a2a*B3-若占二，即。=0+32,则3。2=Jq4+32,即a4=2a得=0或=W这与3矛盾王X3故原方程/(x)=)有3个实数解.