第04讲 最值求法丰富多彩视角不同贵在构造.docx

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1、第04讲最值求法丰富多彩，视角不同贵在构造典型例题/(x)=x+J3(1-x)z,、【例I】求函数Yv(一1R3-3sin2f3VJsine+而COSe=/55sin(。+*),其中tan=,当6+=%时，y有最大值33.【解法2】(构造向量法)E1y=3万+,.构造平面向量a=(3,&),)(Tvxv1),则)，九=何二7J,两边平方,得y2-xy+X2=30-2).整理得4/一2+)尸一3=0.设f(x)=4x2-2yx+y2-3.依题意知方程在区间(-1,1)内有实数根，注意到/(-I)=+。？，。，/=(y-1)220且等号不能同时成立，A=S)?-4x4(/-3)20,团只需满足条件

2、v,解得-2WyW2.4所以函数/(x)的最大值为2.【解法2(三角换元)设X=CoSe,O(0,),则x+3(1-x2)=cos6+TJsin=2sin。+.),当e=?时，即x=g时Ja)有最大值2.【解法3(均值不等式)彳+13(1-*)=1+/(3-31+1).工+。一3幻;(1+工)=2国当x=g时,/*)有最大值2.(不等式(3-3x)(1x,(3-3x)J1+J的右边不是定值,但从整体上看,x+Z也弛R=2是定值,且能保证“=成立,这是灵活运用基本不等式求函数最2大值的范例,符合“正、定、等三字诀)(均值不等式).【解法4】(构造向量)设=(1,J),J1,由|闻,得x+j30-

3、f)12+(3)2Jx2+(1-x2y=2,即/(x)的最大值为2.【解法5(数形结合)设=x,y=-x2,y=u+-VJv,则I?+F=1(y0).当直线y=u+瓜与半圆w2+V2=1(v0)相切时,y最大.由.)=1,得Iy1=2,ymx=212+(3)2此时X=；.所以函数/(x)的最大值为2.【例2】函数y=3j+j82X的最大值是.【解析】【解法1】(三角换元法)Vy=3d+247,x1,4,0x-13,则6=(j4-x)4J=,7=J,7=3T+24-x 6=II1方ICOS&,，IaiI0,当且仅当a与同向时取等号.03XJX-I+&x,4-X7XG=/33,当且仅当-=半，0,

4、即X=424-x架寸,等号成立.13%=后.【解法3】(数形结合法转化为直线与曲线位置关系问题) /y=3XJX-I+J24-x,1,4,设u=x-1O,-J3,v=4-x0,3.Meg(y=-时最小),即F(x,y)的最小值为;.+v2=(x-1)2+(J4_+)2=3,y=3u+J1v0. 原问题转化为直线)，=3+v与圆2+y2=3在第一象限的图形相切时取得最大值.由d=*=得,，=后,即为所求的最大值.9+211【解法4】(对偶思想应用)y=3xJ+0,x1,4,记u=34-x-2Vx-I，-u在1,4上单调递减，则一痣w3邪.故027.又0y2+u2=(3Vx-I+4-x)2+(34

5、-x-x-1)2=33,故33-w2.6W33-rW33,故6,W33,.y1（）【例5】将边长为M的正三角形铁皮沿一条平行于某边的直线前成两块,其中一块是梯形,【解析】【解法1（求导数法）如图5-2所示,设梯形上底边长为X,则梯形两腰为1-工,高为/7（1-x）,0x1.2x+1+2(1-x)2(3幻2_4(P?令w(x)=丁?)一,0X1Jr-I2(x-3)(x2-1)-2x(x-3)2_2(x-3)(3x-1)X)=z=(I)d.当0X0,u(x)单调递增;当!%1时,(X)0,u(x)单调递减.33化-3丫.i_1(HZAPCMIC_4UJ_32_323当X=7时，(X)最大，S最小,

6、Smin二一一r772=F=-33(1.33图5-24(3X)2解法2】(配方法)同解法1可得S=尸X1-(0x1).3i-设3X=，,则，(2,3),x=3-z,.当即=w(2,3)时,S取得最小值,此时x=J,Snun=Zo3334(3-x)2【解法3(利用耐克函数的性质)同解法1可得S=r=x=一J(Ox1),31-xhc43f161()1人6x-10a1即S=1+-5,令/(X)=2I,Oxv1,31x-1jJr-I、E，SEf+10/、,、t36，设/=6九一IO,则x=-,.()=g(f)=7=-6(r+1Vr+20/+64-6-J10x1,.-10r-4,.g(f)=r+20t6

7、41又f+-p,-16,当且仅当，=8时取等号,得gQ).9,此时，=一8,X=(0,1).当Xq时,(X)min=9,即Smin=邛4(3-2【解法4(判别式法)同解法1,可得S=-=、一J(Ox1).31-x2设y=I1(OO,y(1-f)=(3-)2展开整理得(y+1)d-6x+9-y=0,由yR,.A.0.即36-4()，+1)(9-y).0,解得y,0或y.8,由y0知y.8.把y=8代人函数解析式,得X=1(0,1),.二ynin=8.U而C32323从而Sman=F=二4(3-x)2【解法5】(数形结合法)同解法1,可得S=-0V-(0x1),令X=Sin仇其中Ow31-x2(0,勺，则S=SIn.设&=上吗,其几何意义是表示定点A(0,3)和动点I2)3IkO-COS9JO-COSeP(COSaSine)(e(,9两点连线的斜率.如图5-3所示,设直线AP的方程为y=H+3,当直线与圆弧相切时,由圆心到直线距离等于半径,求得=-2应,由数形结合的方法易得Z京J-2,.r&5?邛即Sgn=杵叵.4(3-2【解法6(辅助角公式法)同解法1,可得S=r=J(0(XCI),令X=COSe,其中y3I-X/K2则S=2/3-COSq,记f=