解三角形中的最值与范围问题4大题型.docx

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1、解三角形中的最值与范围问题4大题型命题趋势解三角形中的最值与范围问题是近几年高考数学的热点,这类试题主要考查学生数形结合、等价转化、数学运算和逻辑推理的能力。一般为中等难度，但题目相对综合，涉及知识较多，可通过三角恒等变换、构造函数或构造基本不等式等方法加以解决。我分技可一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式求最值-化角为边余弦定理公式里有“平方和和积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意一正二定三相等，尤其是取得最值的条件。2、转为三角函数求最值-化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这

2、时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有。、葭C的齐次式，优先考虑正弦定理边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三个自由角

3、)时，要用到三角形的内角和定理.U热点题型解读；题型1与角或三角值有关的问题题型2求周长的最值与范围问题题型3求面积的最值与范围问题题型4与边有关的最值与范围问题【题型1与角或三角值有关的问题】例1(2023春江西赣州高三统考阶段练习)在锐角.ABC中，角A,8,C所对的边分别为a,b,c.已知。=1,且。CoSA-COS3=1,贝(JJsin8+2siA的取值范围是()A.(,3+)B.(2,3+1)C.(1,3D.(2,3【变式1-1(2023四川泸州统考二模)在WC中,BC=I1AB=IAC,D为BC的中点，则tan48的最大值为【变式1-2(2023福建福州统考二模)记AABC的内角A

4、,B,C的对边分别为a,b,c,已知2=2c2(I)求黑的值:(2)求C的最大值.【变式13】(2023春辽宁本溪高三校考阶段练习)已知ABC的内角A&C的对边分别为,3为钝角.若.ABC的面积为S,且4烈=。W十2一/).(1)证明：8=%;(2)求SinA+SinC的最大值.【变式1-4(2023春湖北武汉高三华中师大一附中校考阶段练习)在锐角ABC中，角ABQ所对的边分别是&Ac,满足。2=贴+).(1)求证：C=IB；(2)求J7rC+3sinC的取值范围.tantanC【题型2求周长的最值与范围问题】例2(2023春四川成都高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习应ABC中，csinB=

5、VcosC.(1)求NC；(2)若+h=6,求ABC周长的最小值.【变式2-1X2023.云南昆明.高三昆明一中校考阶段练习)已知AABC的内角A,B,。所对边分别为a,b,c,且SinA=曰二2).2bc(1)求B的大小；(2)若aABC为钝角三角形，且人=Q,求aABC的周长的取值范围.【变式2-2(2023.全国高三专题练习)已知函数/(x)=8S?(3)+Gsin(3)COS(3X)-g,其中”0,且函数八幻的两个相邻零点间的距离为方，(1)求。的值及函数/(X)的对称轴方程；(2)在ABC中/，c分别是角A,8,C的对边，若/(A)=Ta=Q,求ABC周长的取值范围.【变式23120

6、23湖南模拟预测底.ABC中，内角A睨C所对的边分别为“也c,已知/BC的面积为S,且2S(包十包工)=(/+/)sinA.SinnsinC(1)求C的值；(2)若=6,求A8C周长的取值范围.【变式2-4】(2023春河北邢台高三邢台市第二中学校考阶段练习)在四边形3ABC。中，ABC。四点共圆，AB=5,BC=3,cosZBC=-j.(1)若SinZACQ=苧,求AO的长；(2)求四边形ABeQ周长的最大值.【题型3求面积的最值与范围问题】例3(2023重庆渝中高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知函数/(x)=23sin(-x)cosx-2cos2x(xR).(1)求函数f()的值域;(2)

7、在AABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,若”4)=-2,d,求AABC的面积S的最大值.【变式3-1】(2023.浙江嘉兴.统考模拟预测)已知ABC中，内角A,8,。所对的边分别为。，b,c,且满足言焉=鬻斗.(1)求角A的大小；(2)设AD是C边上的高，且4)=2,求ABC面积的最小值【变式3-212023山东临沂统考一模施ABC中角人伉。所对的边分别为,c,已知cos4+匕CoSA=2ccosC.(I)求C;(2)若c=1,求JABC面积的取值范围.【变式3-3(2023.全国.模拟预测)已知,A8C的内角A1B1C的对边分别为a,h1C1V5sinC=sin8(4asinC-5

8、c).(1)求A;(2)若。是ABC的内心，a=2,且/+/4,求ZXOBC面积的最大值.【变式3-4(2023.江苏南通校联考模拟预测)如图，在平面四边形ABCQ中，AB=IzAD=6,CD=2,BC=正.D5C(1)若BC1CD,求sinZDC；(2)记AABD与ABCD的面积分别记为S1和邑，求S：+S；的最大值.【题型4与边有关的最值与范围问题】例412023江西南昌统考一模在锐角C中角AI,C所对的边分别为也c,若=1,8=60,贝必的取值范围为.【变式4-1】(2023春湖南高三校联考阶段练习)已知1BC的内角A、B、C所对的边分别为。、b、ctcos(B-C)=(23csinB-

9、a)cosA.(1)求角A；(2)若,ABC为锐角三角形,且外接圆的半径为G,求生E的取值范围.D【变式4-2（2023广东江门统考一模）在锐角ABC中，角ABC的对边分别为ah*且，-i7,依次组成等差数列.tanSinAIanC（1）求的值；be（2）若bc,求生4的取值范围.a【变式4-3（2023江苏南通统考模拟预测）BC中，角A,8,C的对边分别是。,b,c,已知=4,且?COSC+jc=.（1）求B；（2）若。在4C上，且BOUC,求3。的最大值.【变式4-4（2023新疆统考一模）在MBC中，。也。分别为内角A8,C的对边，c2=2Sine（1）若SinCCOsB+1SinB=S

10、inA,求的值；（2）求的最大值.限时检测（建议用时：60分钟）1.（2023甘肃武威统考一模）在AABC中,AB=3,AC=2BC,则cos的范围是（B-哈2.（2023秋浙江宁波高三期末）在ABC中，内角A,8,C的对应边分别为a,b1c1已知加in(8+C)=sin仔,且A8C的面积为2有，则.A8C周长的最小值为()A.22B.23C.62D.6+233.(2023.江西赣州统考一模)已知锐角-ABC的内角A&C的对应边依次记为，且满足,、-。=次。SA,则Sin(C+8)+2cos2(A-B)的取值范围为.4.(2023陕西西安统考一模)已知在一4%中，角A,B,。所对边分别为a,b

11、,C,满足2bcosA+a=2c,且=2石，则二ABC周长的取值范围为.5.(2023全国校联考一模)在一回。中，角A,B,。所对的边分别为a1b,c,c2+ac=b2.(1)证明：B=2C;(2)求岁的取值范围.6.(2023春湖南长沙高三雅礼中学校考阶段练习)已知他C的内角A1B1C的对边分别为a,b,c,且2sinC-SinB=tanAcos8.(1)求A；(2)若=2,求2c-b的取值范围.7.(2023河南校联考模拟预测)记.ABC的内角A1B1。的对边分别为a.b,C已知师是勿与sin(c+2)的等比中项.(1)求A：(2)若-4?C是锐角三角形，且。=2,求sin8的取值范围.8

12、.(2023全国高三专题练习)在6(-加OSe)=CSinB,勿-。=次OSC,(4-。)(4+3=(“”这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC中，内角AB,C的对边分别是ab,c1且满足,b=243.(1)若+c=4,求二ABC的面积；(2)求-ABC周长/的取值范围.9.(2023春山西高三校联考阶段练习)求AABC,角A,B,。所对的边分别为a1b,c,已知A=?,且AABC的周长为6.(1)证明：bc+2=4(b+c);(2)求AABC面积的最大值.10.(2023四川凉山统考一模)在锐角ABC中，角A,8,C所对的边分别为a,b,c,b-csinA=cosC

13、(1)求A；(2)若2,求MC面积的取值范围.参考答案【题型1与角或三角值有关的问题】例1(2023春江西赣州高三统考阶段练习)在锐角ABC中，角A,8,C所对的边分别为a,b,C.已知。=1,且bcosA-COSB=I,则Jsin8+2siA的取值范围是()A.(,3+1)B.(2,6+1)C.(1,3D.(2,3【答案】B【解析】,IbcosA-COS8=1,即：8sA=cosB+1,a=t.*.cosA=(cosB+1)6/t由正弦定理得：sinBcosA=(cos8+1)sinA,即：sinBcosA=sinAcosB+sinA,.sin(B-A)=sinA,.B-A=AtB-A+A=,解彳导：B=2AtB=(舍),OAg又445C为锐角三角形,则C=-A-B=-3A,0A-202YO2A5,解得：/a.0-3A-23sinB2sin2A=sin2A+1-cos2A=2sin(2A-)+1#6兀/兀冗z)AT1Tte1./ca兀又,ZAW-Z2A-zW.-sm(2-)，22sin(2A-)+12且2xr2,解得g%(2x)2二AD2+1-22AD2AD,解得A加=为2_,2C-x2,352.-0一X-1+1-XQ73则cosZADC=-