概率数理统计第一章练习.docx

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1、第一章习题课1 .设大事 A、B、C两两互不相容,P(A)=0.2, P(B)=O.3, P(Q=0.4.求 P(AU5)-C.解：A、B、C两两互不相容，.Au亍, BC , PAB=O.P(AUB)-C=P(AUB) C=P(AC)U(BC)二 P( C )+P(B C)-PABC =P(A)+P(B)=O.5.2 .设 A,B 为随机大事,P(A)=0.7, P(B)=O.5, P(A-B)=O.3,求:P(AB)； P(B-A)； P(BA).解：P(AB)=P(A)-P(A B )=P(A)-P(AB)=0.7-0.3=0.4P(B-A)=P(B) -P(AB)=0.5-0.4=0.

2、1p(瓦/万)=尸西历=尸(硬= 1-P(A) + P(B)-P(A5) = 2 P(A) P(A) 1-P(A) 33 .证明：(1) P(AB)+P( A B)= 1(2) A与3相互独立的充要条件是P(AB)=P()证明:.3+*)=鬻+篇嘀=1(2) “ = TA与8相互独立，P(AB)-RA8)-P(A)P(8)P(B) P(B)=P(A)PM尸需端5)P(AB)=P(A)“初两两互不相容.所以：P(AB)-P(A)P(B)=P(AB) 一 P(4B)+P(AZ)P(AB)+P(M)(绽开得)二P(AB) 1-P(4B) -P(A B )-P( AB )-P(A B)P(AB)=P(

3、AB)1-P(A U B) -P(A )P(AB )-P(A B)P(AB): 0P( 4)=l-P( AB)=1-P(AB)1-PAB)111P(PB) -P(A)P(B)-P(AB)l-P(AB)=-(-P(AB)2-424另一方面，不妨设P(A)2P(3),则:P(AB) -P(A)P(B)P(B) -P(A)P(B)P(B) -P(B)P(B)=P(B) 1 -P(B) -.所以：P(A0- P(A)P(8)w6 .设A发生的概率为p , B发生的概率为q； A与3至少发生一个的概率为求A发生但8不发生的概率.解：以题意：P(A)=p, P(B)=q, P(A U B)=r，A发生但5

4、不发生的概率为：P(A - B)= P(AB) =P(B)-P(AB) = P(B)- P(AB) = l-p-(l-r)=r-q.7 . 10个人中有一对夫妇，他们随便坐在一张圆桌四周，求此对夫妇正好坐在一起的概率。解：设A为“此对夫妇正好坐在一起”。方法.10个人随机坐在一张圆桌四周，共有10!种方法.先考虑此对夫妇男左女右坐在一起：把相邻的两个座位看成一个特号座，有10种状况。夫妇俩只能坐在特号座，其他8人共有8!种坐法.同理再考虑男右女左的坐法,所以:P(A) = 2xlx8!=210!9方法,只考虑夫妇俩人。夫妇俩人随机坐有睨种坐法.把座位按110排号，夫妇相邻女坐男右侧有10种坐法

5、：男坐：1, 2, 3,，9, 10；女坐 2, 3,，10, 1；202同理再考虑女坐男左侧也有10种坐法，共有20种坐法.所以：P(A) = - = -P已9方法.假设夫妇中一人坐定，考虑另一人(不妨设是女).此人随机坐，有9种坐法，若要求夫妇相邻，她只能坐在男方的左右两个位置.所以:P(A) = g留意:古典概型计算技巧较高,一般只要求把握一些最基本的计算方法.8 .现有N间房，个人(nWM，每个人等可能的安排到每一间房。求下列大事的概率：(1)指定的间房中各有一个人。(2)每个人占一间房。(3)指定的某间房中有个人。解：分析：因每个人有N种安排方法，故把个人分到N间房共有M种方法，即样

6、本空间有M个基本领件。设：A为”指定的n间房中各有一个人”,A包含!个基本领件.B为”每人占一间房、B包含PR个基本领件。为”指定的一间房内有m人”。所以：(1).P(A)=SQ).P(B)=备(5).对于每一个人有两种可能，或住进指定房间或者不住进指定房间，每安排一个人是一次试验，又各人是否住进指定房间相互独立，故是贝努里概型。指定房间有2人相当于在重贝努里试验中，“住进指定房间”恰发生 ?次。9 .从0, 1, 29中随机取4个数(可重复)，求下列大事的概率:(1)大事A：取出的4个数构成4位奇数。(2)大事&取出的4个数构成4位数，且各位数字均不同。(3)大事C：取出的4个数中，0恰消失

7、2次。(4)大事。：取出的4个数中，0至少出1次。解：因取出的数可重复且有挨次故样本空间含有104个基本领件。(1)要组成奇数，个位数必为1, 3, 5, 7, 9之一。要组成4位数，则千位数不能取零，十位和百位可从0, 1, 2,9中任取一个。.p(y4)= C；*C； =o 45104(2)要使取出的4个数成4位数，且各位数字均不同，则千位数只能从1, 2,9中取1个，后3位只能从余下的9数中取出的3个不同数，且要考虑挨次。P()=0.4536104(3)要使取出的4个数中，0恰消失2次，任取两个位置放零，另两个位置只能从1, 2,9中取出的2个不同数，且要考虑挨次。P(O= =0.048

8、6104(4)要使取出的4个数中，0至少出1次，考虑对立大事简洁,而其对立大事为，取出的4个数d 一 人 KO4中不含零.P(D)= i-P(/)=i_Z_ =0.343910 .某人外出旅游两天。据天气预报，第一天下雨的概率为0.6,其次天下雨的概率为0.3,两天都下雨的概率为0.1,试求：(1).第一天下雨其次天不下雨的概率。(2).第一天不下雨其次天下雨的概率。(3).至少有一天下雨的概率。(4).两天都不下雨的概率。(5).至少有一天不下雨的概率。解：设 4表示大事第 i 天下雨,i=l, 2.则：P(A)=0.6; P(A2)=O3 P(A1A2)-O.h(1),设3表示第一天下雨其

9、次天不下雨；由于：B= A A? =A-AA2,且:AqAiAz.所以:P(B)=P(A i-A 1 A2)=P(4) -P(AiA2)=0.6-0.1 =0.5(2),设C表示第一天不下雨其次天下雨.同:P(3)=P(A2-4A2)=P(A2)-P(AA2) =0.3-0.1=0.2(3) .设。表示至少有一天下雨.则：0=4 UA2.P(D)= P(A UA2)= P(A1)P(A2)-P(A1A2)=O.6+O.3-O.l=O.8(4) .设E表示两天都不下雨.则:E=4n不=AUA?P(E)=P( AA) = P(AUX)= 1-P(Ai U A2)= l-P(D)=0.2(5) .设

10、厂表示至少有一天不下雨.则:F=AA2P()=P( A 4 )= l-P(A1A2)= 1-0.1=0.9留意:35、36两题说明分析大事间的关系是解题的关键.11 .某宾馆一楼有3部电梯，今有5人要乘坐电梯，假定各人选哪部电梯是随机的，求：每部电梯中至少有一人的概率。解：(从对立大事考虑)设4表示“第i部电梯内无人，i=l, 2, 30W表示“每部电梯中至少有一人”。琳表示“至少一部电梯中无人”。于受P(Ag自;P(iv)=P(A1UA2UA3)P(A1A2A3)=Oi=l, 2, 3； P(AiAj)= 1 ij=l,2,314IJ /(2、s (1V=P(A1)+P(A2)+P(A3)-

11、P(AlA2) -P(A1A3) -P(A2A3)+P(1A2A3) = 3 - -3 - +0 = 0.3813 JP( W)=l-P(m)=1-0.38=0.6212 .举例说明：(1) A、B、。两两独立，但A、B、C不相互独立。(2) P(ABC)=P(A)P(B)P(C),但A、B、C不相互独立。解：(1) 一个匀称正四周体，其第一面染成白色，其次面染成兰色，第三面染成红色，第四周分成3块，分别染成红、白、兰色。投一次4面体，以A、B、。分别表示消失红、白、兰色。因4面体有两个面有红色。故P(A)= 同理：P(B)=P(C)= 1.只有一个面含有两种颜色，.P(A5)=P(AC)=P

12、(3C)= 14P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C)A B、。两两独立。但是P(A81P(A)PCB)P(0=，故A、8、。不是相互独立。48(2) 一匀称正八面体，其第1, 2, 3, 4面染红色，第1, 2, 3, 5染白色，第1, 6, 7, 8面染兰色投一次八面体，以A、B、。分别表示消失红、白、兰色的大事。则：P(A)=P(B)=P(Q=1 = 18 2只有第一个面含有三种颜色。P(A3O=!=P(A)P(3)P(OOffi P(AB)=1=P(A)P(B) 故 A、B、C 不相互独立。13.为防止意外，在矿内同时设置两种警报系

13、统A与5 两系统单独使用时有效率分别为0.92和0.93,在A失灵条件下8有效的概率为0.85,求：(1) .发生意外时两种警报系统至少一个有效的概率。(2) .在B失灵条件下A有效的概率.解：设A、B分别表示报警系统A与8有效(1) P( U B)= 1 -P( AUB )= 1 -P( A B)由于:P(BA) = 1-P(BA), 所以： P(A U B)=l- P(A)P(BA)=1- (1-0.92)(1-0.85)=0.988(2) P(AB)=P(AB)P(B)而 P(A B )=P(A U B) 一P(5)=0.988-0.93=0.058.P(A5-0.828571-0.9314 .排球竞赛规章规定：发球方赢球时得分，输球时被对方赢回发球权。甲、乙两个排球队进行竞赛，已知甲队发球时赢球和输球的概率分别为0.4和().6；乙队发球时甲队赢球和输球的概率均为0.5；无论哪一个队先发球，竞赛到任意队得分时为止。求当甲队发球时各队得分的概率。解：设A表示“甲队发球时，甲队先得分”；8表示“甲队发球时，乙队先得分”；A表示“甲队第i次发球时，甲队得分”；8表示“乙队第i次发球时，乙队得分”；由已知：P(Ai)=0.4, P(8)=0.5a = aiU(AA)U(AA)UP(A) = P(1) + P(iB1A2