(人教A版必修第一册)5.2任意角的三角函数-(教师版).docx

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1、任意角的三角函数知识剖析1任意角的三角函数的概念设是一个任意角，aER,它的终边。P与单位圆相交于点尸(%,y).把点尸的纵坐标y叫做的正弦函数，记作S讥,即y=s讥a；把点尸的纵坐标叫做a的余弦函数，记作CoSa,即=cosa；把点尸的纵坐标?叫做a的正切函数，记作tcma,即?=tana(x0).正弦函数f(%)=sinx,XR；余弦函数/(%)=cosxtxR；正切函数f(%)=tanxfxk,它们统称三角函数.2三角函数在各个象限的符号各象限点坐标的符号a第一象限第二象限第三象限第四象限(一,+)(+)sina+一一cosa+一一+(一,一)(十,一)tana+一+一根据三角函数定义可

2、知它们在各个象限符号(设a的终边上一点P(%,y),SiTIa符号看y,CoSa符号看,tcma符号看今3特殊角的三角函数值表a06432233T56Tr322sina0122T3213T22120-10cosa13T2T12012_V2一2_V3-101tana03T13-3-1_V3-00利用三角函数的定义求a=0、71、2兀时对应的三角函数值.Eg如图所示，a=7的终边在%轴的负半轴，与轴交点为尸(-1,0),贝US讥Tr=0,cos=1,tan=0.4同角三角函数基本关系式sin2a+CoS2a=1sinatana=cosa拓展(sina+CoSa)2=1+2sinacosa；(sin

3、acosa)2=12sinacosa.【题型一】求三角函数值【典题1】已知角的终边与单位圆的交点为(一：|),贝)2si+tcma=【解析】角的终边与单位圆的交点为尸(一3|),则SiT1a=tcm=-贝U2s讥+tana=|=【典题2】已知角。的始边为%轴非负半轴，终边经过点尸(1,2),则.70=S1T1U+COS【解析】角。的始边为工轴非负半轴，终边经过点尸(1,2),.tan=2,贝U=tcn9=-=4sin+costan+12+13【点拨】P(1,2)不在单位圆上，故S讥。2,cos1.设仇是任意角，它的终边上任意一点P(%,y),它与原点的距离是厂，贝USiT1a=-,cosa=C

4、tana=TTX【题型二】确认三角函数的符号【典题1】S讥2,cos3,tcm4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在【解析】因为（27,：3S40,cos30,从而S讥2-cos3-tan40,选4【典题2若COSe0且位加90,贝吟终边在（）A.第一象限B,第二象限C.第一或第三象限D.第三或第四象限【解析】,cos0。是第二或三象限，tQm9V0,.8是第二或四象限,6是第二象限，即2k+0cosa=g,.(0,),且tcm=-20,为第二象限角，cosa0,5.,.cosa=.5方法2vtana=-2,构造直角三角形AtZBC如下图，aA在直角三角形中，cos=生=京=g，/

5、,.(0,),Setana=-20/为第二象限角，c01B51cosa0cosa=【点拨】 若知S讥a、cosaytna三者中一个的值，可求另外两个的值，即“知一得二”;在非解答题中用方法二解题速度更快些，只是要多留意三角函数的符号.【典题2】已知SiTI6、CoSe是关于的方程/-22x+=。的两个根.(1)求实数Q的值；(2)若e(-0),求S讥。cose的值.【解析】(I)：sin。、CoSe是方程-22x+=0的两个实根，sin+cos=2V2，sincos=a，=b2-4ac=82-40,即0或Q.(sin+COS)2=1+2sincos=1+2=82,BP8a2-21=0,解得Q=

6、；或也(2)v(-p0),sin0,可得S讥0cos9=0,由(1)可得Q=-4sincos=4.(sinCoSo)2=I-2sincos=1+-=又SiTIecossincosS讥9cos9也是“知得二【典题3】已知tcma是关于的方程2/一%一I=O的一个实根，且是第三象限角.的值;、_2sina-cosa求S讥a+c。Sa(2)求3sintan2a+13-1+2C=2.【点拨】弦化切技巧若已知汝九仇，可求吧=十；吧或：叱。要分子分母齐次的形式,可分子分母同csna+dcosadsnza+esnacosa+fcosza除以CoSa或CoS2仇，化为关于tcmi的式子.本题巧妙利用了si/a

7、+cos?1=1,当遇到类似3sin?s讥acosa+2cos2化为分子分母齐次的形式.对si2+cos2=1的巧用要注意.本题若是选择填空题当然也可以通过tcm=1,求出Sin%COSa的值，容易想到且计算量也不大，值得考虑.【典题4已知3s讥a+4cosa=5,求tcm.【解析】方法1解方程组法3s2a+4cosa-5得Sin2a30sina+9=0,解得S讥=ISn1Na+cosza=1.3cosa=-tana=-.4方法2“对偶式法设4sin3cosa=x,等式两边平方得16sin2a24sinacosa+9cos2=/将3s讥+4cosa=5两边平方，得9sin2a+24sinaco

8、sa+16cos2=25asinacosa+2cos2的值.【解析】(1)tcma是关于的方程2/%1=0的一个实根，且是第三象限角,tana=1tana=1(舍去),.2sina-cosa_2tana-1_1sina+cosatana+12(2)3sin2asinacosa+2cos2a3siizasinacosa+2cos2asin2a+cos2a3tan2atana+2由+得，25=/+25,解得=0,34sIna3cosa=O4sina=3cosatana=-4方法3“弦化切”法sina+4cosa=5两边平方，得9sintan2a+1巩固练习1()已知角的项点与坐标原点重合，始边与工

9、轴的非负半轴重合，若点尸(2,-1)在角的终边上，贝Utcma()A.2B.-C,-D.-22【答案】C【解析】,点P(2,1)在角的终边上，Ccma=，=一,故选：C.)若。为第二象限角，则下列结论一定成立的是()QQQQQA.sin-0B.cos-0C.tan-0D.sin-cos-022222【答案】C【解析】,8为第二象限角，+2k07+2fc,kEZ.J1TT则一c70,cosa0,.sinacosa=(sincosa)2=1Isinacosa=6()若(-,7T),且cos2qsina=贝!jt?Ia=24【答案T【解析】,cos2asina=不：.4(1sin2)4sina1=0

10、,13即4siMa+Asina3=0,J解得SiT1a=或SiT1a=一(舍).7()已知tcm=2,则sin2a-cos2a【答案】I【解析】,tana=2,.1_sin/I、5,5Tr73,.a(27r),ag,tana=tan-=-a-cos2a_tn2a+1_4+1_5sin2a-cos2asinza-cos2atanza14138()若CoS-2sin=1,贝!kcm9=.【答案】0*【解析】,cos2sin=1,且Sin2+cos20=1,Q、4.5Sin2+4sin=0,sin=0或一百，、3、4.cos=1或一中则tern。=O或一.，3挑战学霸若O%证明SinxXtanx.【解析】如上图，在单位圆中，sinx=AB,tanx=CD,x=AD,显然S讥%tanx.