基于APOS理论的函数概念教学设计.docx

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1、基于APOS理论的函数概念教学设计一、概念同化教学与APc）S理论高中新课程实行已经有四年多了，然而目前，相当多教师仍然采取传 统的概念同化教学方式，其教学步骤为1： （1）揭示概念的本质属性，给 出定义、名称和符号；（2）对概念进行特殊分类，揭示概念的外延；（3）稳固 概念，利用概念的定义进行简单的识别活动；（4）概念的应用与联系，用 概念解决问题，并建立所学概念与其它概念间的联系。这种教学方式有其精妙之处，但是过快的抽象过程只能有一少局部学 生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大局部学生理解 不了数学概念，只能靠死记硬背。事实上，概念的同化教学对帮助学生构 建良好的概念图式、原

2、理图式，作用十分有限。因为心理意义是不能传授 的，必需由学生自我构建，不能由教师代替学生操作、思考、体验。美国数学教育学家Ed. Dubinsky认为：一个人是不可能直接学习到数 学概念的,更确切地说,人们透过心智结构（mental StrUCtUre）使所学的 数学概念产生意义。如果一个人对于给予的数学概念拥有适当的心智结 构，那么他几乎自然就学到了这个概念。反之，如果他无法建立起适当的 心智结构，那么他学习数学概念几乎是不可能的。因此，Ed Dubinsky认 为，学生学习数学概念就是要建构心智结构，这一建构过程要经历以下4 个阶段2：二、基于APOS理论的函数教学设计从数学教育的研究内容

3、来看，关于代数内容已经逐渐从以解方程为中 心转到以研究函数为中心了 ：3 O函数概念已经成为中学数学中最为重要 的概念之一。函数概念本身不好理解。国外关于函数教学的研究说明了 这一点一一斯法德调查了 60名16岁和18岁的学生，结论是大多数学生 认为函数的概念是个过程而不是静止的结构。中国学者也进行了相关的研 究，见文献4.可见，函数确实成了中学数学中最难教、最难学的概念之一。函数的教 学在我国设置成螺旋式的教学，初中是用运动变化的观点对函数进行定 义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。例如， 对于函数如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强。但如果用集合 与对应的

4、观点来解释，就十分自然。笔者在浙江省义乌市第三中学陈向阳 老师设计的？函数的概念?根底上进行思考，尝试用APc）S理论来设计高中 函数概念的教学。（一）创设问题情境，引出课题教师提出问题1：我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的呢?在初中已经学过哪 些函数？（在学生答复的根底上出示投影）我们已经学习了一些具体的函数，那么为什么还要学习函数呢?先请同 学们思考下面的问题：问题2：由上述定义你能判断“y=l是否表示一个函数？函数y=x与函 数表示同一个函数吗？学生思考、讨论后，教师点拨：仅用上述函数概念很难答复这些问题， 我们需要从新的角度来认识函数概念。（二）生活实例演示，操作练习活动（A）

5、问题3：以下图中哪几个图像与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图像写出一件事.(1)我离开家不久，发现自己把作业本可能忘在家里了，于是停下来 找，没找到，就返回家里找到了作业本再上学；(2)我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了一 些时间；(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.活动小结：每一个时刻，按照图像，都有唯一确定的距离与它对应。(三)借助信息技术，讨论归纳过程(P)师：(实例1)演示动画，用？几何画板?动态地显示炮弹高度关于炮弹发 射时间的函数。启发学生观察、思考、讨论，尝试用集合与对应的语言描 述变量之间的依赖关系：在的变化范围内，任给

6、一个，按照给定的解析 式，都有唯一的一个高度与之相对应。生：用计算器计算，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关 系。师：(实例2)引导学生看图，并启发：在的变化范围内，任给一个t , 按照给定的图象，都有唯一的一个臭氧空洞面积与之相对应。生：动手测量，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。师生：(实例3)共同读表，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依 赖关系。(四)从特殊到一般，引出函数概念对象(O)问题4：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同特点？生：分组讨论三个实例的共同特点，然后归纳出函数定义，并在全班交 流。师生：由学生概括，教师补充，引导学生归纳出三个实例中变量之间

7、的 关系均可描述为：对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都有唯一确定的与它对应，记作教师强调指出“仅仅是数学符号。为了更好地理解函数符号的含义，教师提出下一个问题：问题5： 一定就是函数的解析式吗？师生：函数的解析式、图象、表格都是表示函数的方法。问题6：函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢?如果能，怎样给函数重新下一个定义呢？(在学生答复的根底上教师归纳总结)补充练习：以下图象中不能作为函数的图象的是()例1.函数，(1)求函数、的定义域；(2)求的值;(3)当时，求的值。求(5)求让学生思考，并提问个别学生。师问：怎样求函数的定义域？追问：与有何区别与联系？点拨：表示当自变量时

8、函数的值，是一个常量，而是自变量的函数， 它是一个变量，是的一个特殊值。追问：如何求，又如何求一般情况的?具体地，可以将2带入函数求出具体值，再代入求出函数值。对于抽象的，应该将看成一个整体，带入的解析式，求出的解析式。问题7：函数的三要素是什么？教师引导学生归纳总结：函数的三要素是定义域、值域及对应法那么。 在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，那么第三个要素也就随 之确定了。如当函数的定义域，对应法那么已确定，那么函数的值域也就 确定了。追问：如何判断两个函数是否相同？以学生已解决的问题出发创设情境，引起学生的学习兴趣，再次引发 学生在构建自身根底上的“再创造，并通过独立思考后的讨论，

9、培养 学生分析解决问题、用数学语言交流沟通的能力。例2.以下函数中哪个与函数相等？(1)(2)(3)(4)师问：判断函数相等的依据是什么？变式：假设改为呢？思考：你能举出一些函数相等的具体例子吗？启发并引导学生思考、讨论、交流，教师归纳总结出函数的要点：1 .函数是一种特殊的对应一一非空数集到非空数集的对应；2 .函数的核心是对应法那么，通常用记号表示函数的对应法那么，在 不同的函数中，的具体含义不一样。函数记号说明，对于定义域的任意一 个在“对应法那么的作用下，即在中可得唯一的.当在定义域中取一 个确定的，对应的函数值即为.集合中并非所有的元素在定义域中都有元 素和它对应；值域；3 .函数符

10、号的说明：(1) ”即为”是的函数的符号表示；(2)不一定能用解析式表示；(3) 与是不同的，通常，表示函数当时的函数值；(4)在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示 不同的函数，除用符号外，还常用、等符号来表示。4.定义域是函数的重要组成局部，如与是不同的两个函数。(五)借助熟悉的函数，加深对函数概念的理解图式(S)问题8：集合A(A=R)到集合B(B=R)的对应:：A&rarr；B ,使得集合B中的元素与集合A中的元素对应，如何表 示这个函数?定义域和值域各是什么？函数呢？函数呢？教师演示动画，用？几何画板？显示这三种函数的动态图象，启发学生 观察、分析，并请同学们思考之后填写下表：

11、函数一次函数反比例函数二次函数对应关系a0 a0定义域值域用函数的定义去解释学过的一次函数、反比例函数、二次函数，使得对 函数的描述性定义上升到集合与对应语言刻画的定义。同时利用信息技术 工具画出函数的图象，是让学生进一步体会”数与”形结合在理解 函数中的作用，更好地帮助理解上述函数的三个要素，从而加强学生对 函数概念的理解，进一步挖掘函数概念中集合与函数的联系。明确定义 域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体，以此更好地培 养学生深层次思考问题的习惯。（六）再创情境，引导探究函数概念的新认识图式（S）问题9：比拟函数的近代定义与传统定义（即初中课本函数的定义）的异 同点，你对函数

12、有什么新的认识？学生思考、讨论，教师点拨：函数近代定义与传统定义在实质上是一致 的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法那 么实际上也一样，只不过表达的出发点不同，传统定义是从运动变化的 观点出发，近代定义的对应法那么是从集合与对应的观点出发。问题10：学生在前面学习的根底上，反思对问题2的解答，重新思考 问题2 ,谈谈自己的认识。教师启发、引导学生画图，以形求数。师生：是函数；与不是同一个函数。引导学生对问题2进行反思和总结，并将之一般化，利用数学语言来 表达，培养学生反思问题、总结归纳的习惯和蔼于运用数学语言抽象所发 现的结论的能力。（七）举例应用，深化目标图式（S）

13、例3.函数（1）画出函数的图象；（2）求的值；（3）你从（2）中发现了什么结论？（4）求 函数的值域。为了让学生体会到从特殊到一般的思想方法，同时也后面研究函数的 性质（奇函数）作准备。教师引导学生解决此题的关键点，并进行变式：变式1：,当时，求函数的值域；当时，求函数的值域。变式2：,当函数值域为时，求函数定义域;当函数值域为时， 求函数定义域。变式3： （1）,求的值。（2）,求函数.变式4：,求的解析式;的解析式;的解析式。以一个问题为背景，一题多用，一题多变，由浅入深，表达梯度，使 不同程度的学生都有开展。通过一组精心设计的问题链来引导和激发学生 的参与意识、创新意识，培养学生探究问题

14、的能力，从而提升学生的思维 品质。借助三个变式层层深入，是理论到实践的升华，使概念深化、强化、 类化的作用与含义印入心底，得到再次认同，初步掌握与应用能力也就 自然形成了。（八）练习交流，反应稳固以学生答复、板演的形式进行课堂练习，充分发挥师与生、生与生的互 动，以教师、学生相互交流来稳固本节课的学习。（九）学生归纳小结，教师评价以同桌之间一人小结一人倾听的方式，以四人为一小组进行小组讨论， 对本节课所学的内容进行自主小结，教师及时进行归纳总结：1.函数的近 代定义与传统定义的异同点;2.集合与函数的联系、区别；3.函数的三要 素;4.数形结合的思想。二、几点启不APOS理论对学生的函数概念的

15、理解作出了分层分析，可以预测学生已 经在多大程度上对性质作出了心理建构，从而推知学生对函数概念的掌 握起点。基于APOS理论的理念设计数学性质教学，实质是“以学生为主 体的理念在课堂探究中的表达，有利于学生理解函数的概念。教学中教师要关注数学本身的特点，更重要的是要关注课堂上学生的 掌握概念的思维状况，将数学知识和学生探究活动有机结合，要求教师 要重视学生的学习活动，让学生亲身创设问题情境。数学教师要意识到： 一个数学概念由“过程到“对象的建立，有时既困难又漫长，需要 经过屡次反复,循序渐进,螺旋上升，直至学生真正理解，”对象的建立 要注意简练的文字形式和符号表示,使学生在头脑中建立起数学知识的直 观结构形象。学生对于函数概念的认识不是一蹴而就的，这就要要教师在教学过程 中整体处理教材，把握教学的度，结合具体的问题有意识地在各个阶段 的学习过程中，帮助学生逐步形成函数完整的知识链。在往后的教学中要 注意学生对知识的图式的建立，即加强知识间的联系和应用，如在讲解具 体的指数函数、对数函数、累函数时，可以以具体函数为载体，在一般函 数概念的指导下对其性质进行研究，表达了 “具体一抽象一具体 的过程，是函数概念理解的深化。又如，在讲解不等式、方程的求解