专题6 第8讲　圆锥曲线的探索性问题.docx

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1、因此XM=kk3)m3(2+9),四边形Q4P8为平行四边形，当且仅当线段48与线段OP互相平分，即立=2xm于是k(k-3)m3(2+9),士km/-2 X3F+9解得 h=4一币,fo=4+7.因为人0, 3, z=l,2,所以当直线/的斜率为4一巾或4+由时，四边形Q4P8为平行四边形.r2子题1已知椭圆C j+=l的左、右焦点分别为丹，f2,左、右顶点分别为小，42(1)若M为。上任意一点，求MQMB的最大值；椭圆C上是否存在点P(异于点4,小)，使得直线以”以2与直线x=4分别交于点E, F,且|印=1?若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)由椭圆的定义可知MB +

2、B=4,.MHW(啦产=%当且仅当=MB=2时等号成立，.MBMB的最大值为4.(2)假设存在满足题意的点P.不妨设 P(xo， yo)(yoO),则一2x02.由题意知直线PA的方程为y=(x+2),Xo十Z令 x=4,得性=6yoxo+2直线PA的方程为=(-2),令x=4,得此=言由|匀=冲一=6”)xo22y()_ 4xqy。- 16y()_ Ro(x()-4) _ 4xoxq2x44ySyo由 xS+4yS=4,得 5京-8yo+12 = 0,/ = -1760,14R+4.X+X2=-p-， Xl%2=4, (*)假设在X轴上存在一点Z(dO),使得X轴平分NM4M=0,.),(x

3、2-4)+y2(x-4),(x-a)(x2-a)又y=Hr-2), y2=k(x2-2),.2xiX2-(。+2)(乃+工2)+44XX2 6/(X1 +2) ci2把(*)式代入上式化简得4=-8,：.a=-2,，点力(-2,0),综上所述，在x轴上存在一点/(一2,0),使得x轴平分NM4M规律方法探索性问题的求解策略(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律.(2)若只给出条件，求“不存在” “是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论.【

4、跟踪演练】1.已知椭圆G： a+V=l，点6(0,1)，点力为椭圆G的右顶点，过原点。的直线/与椭圆G交于P，。两点(点。在第一象限)，且与线段48交于点M.是否存在直线/,使得480P的面积是48MQ的面积的3倍？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.解 设 0(o, yo)9 则 P(-o, yo)9可知 Ovov2,Ovyol.假设存在直线/,使得尸的面积是460的面积的3倍，则QP = 30,即O0 = 3MQ,又力(2,0),直线48的方程为x+2y-2=0.24点 M 在线段 AB 上，.yxo+铲)一2=0,整理得xo=32乂），点0在椭圆G上，,.?+同=1,把式代入

5、式可得8j- 12o+5=O,: 判另J 式 / = （一 12）24 X 8 义 5 = 160,该方程无解.不存在直线/，使得48。尸的面积是4B0的面积的3倍.2. （2020滁州模拟）已知椭圆E +=l的左、右焦点分别为丹，F2,是否存在斜率为一 1的直线/与以线段FF为直径的圆相交于4 B两点，与椭圆E相交于C,。两点，RCDAB=岑亘？若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.解假设存在斜率为一1的直线/,设为y=-+m,由题意知，F(-l,0), F2(l,0),所以以线段为直径的圆为,+产=1,由题意，圆心(0,0)到直线/的距离=舄0,解得m27t又 n 2,所以 m22

6、.设 C(, y),。(工2,”)，r111.8？ 4产一12则 X十X2=7, XX2= ,S=TW2刈=X 国沔4y6y7-m2=7若 CQ08=粤亘，则小义小二万X半X小二裾=呼,整理得 4?436淤+17=0,）17解得m2 =；或d=执又m 4- 一 4k .Xl+x2- 2c2+ S4P 50pll。那 mF04 邓 inN 尸 04 S：-Bf，Q QPQsin ZPQB QsmzpQAPQSbpq设 0(0, m)(ml), A(x9 y),Bg及），直线/的方程为y=Ax+l,由产Ll=Ax+l,得(2 左 2+1.2+4 履一 2 = 0,显然，J0,2XlX2=2/c2+

7、l9.Q _APQQ SdBP。 sin Z PQA = sinZ PQB,:PQA = PQB,.加 y2mX2. (7 1)(X1 +工2)= 2CX2,L2即一(?- 1),泰匚pj= - 22匚pj, 解得加=2,存在定点。(0,2),使得啸J=携丝恒成立.必切 OBP)2.在平面直角坐标系xy中.已知点。(L 0),直线/： x=23,动点尸满足到点。的距离与到直线/的距离之比为乎.已知点(-3, 0), G是圆： x2+-23-21=0上一个动点，线段HG的垂直平分线交GE于P.点S, T分别在x轴，y轴上运动，且S7 = 3,动点、P满足办=坐宓+专亓.(1)在这三个条件中任选一

8、个，求动点P的轨迹C的方程；(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)(2)设圆。：+=2上任意一点A处的切线交轨迹。于M, N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.解(1)若选,整理，得看+9=1,所以动点尸的轨迹c的方程为7+5=i若选，设P(x,力，根据题意得,4。一小)2+产_也x2y32由 ： x2+y2-2y3-2l=0 得(x4)2+产=24,由题意得P = PG,所以 PH + PE = PG + PE = EG=26HE=2,所以点P的轨迹C是以“，E为焦点的椭圆，且 =小，c=y,则 b=y,所以动点尸的轨迹。的方

9、程为5+9=1.o 3若选，设尸(x, y)t S(x, t 0), 7(0, V ),则-2+j 2 = 9,(*)因为=半市+坐而所以，将其代入(*),得+5=1，所以动点尸的轨迹。的方程为3+专=1.o 3(2)当过点/且与圆。相切的切线斜率不存在时，切线方程为x=L x=-2,当切线方程为了=也时，阳(也，2), M2, -2),以MN为直径的圆的方程为。一啦)2+产=2.当切线方程为 x=一5时，M(-2, 2), N(一 -2),以N为直径的圆的方程为(+媳)2+产=2.由联立，可解得交点为(0,0).当过点力且与圆。相切的切线斜率存在时，设切线方程为歹=云+加，即需= 2(F+1

10、).y=kx+my联立切线与椭圆。的方程4+已_I 并消去y,得(1 +22)x2+4Zwx+2772-6=0.因为 / = 16k2m24(1 +22)(2w2 6)= -8(aw2-6k23)= 8(2/:2+2 6k2 3)=8(4A2+ l)0,所以切线与椭圆。恒有两个交点.设 M(x, y), N(x2, J2),则 X+X2=2w2-61+2* RX2= +2Q因为O=Q, ), ON=(x2,m),所以 OM ON=xX2 +yy=xX2 (kx m)(kx2 + w) = (1 c2)xx2 + km(x x2) w2 = (1 2m2 6 -4km,T+2F+T+2F+w23户一6 一6 42 3 X2(R+1)-6-621+2X1+2公所以OM1ON,所以以MN为直径的圆过原点(0,0),综上所述，以MN为直径的圆过定点(0,0).