圆的标准方程 圆的几何要素 教学设计.docx

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1、4.1圆的方程4. 1.1圆的标准方程喙葡EHj1课前自主学习，基稳才能楼高预习课本P118120,思考并完成以下问题1 .确定圆的几何要索有哪些？2 .圆的标准方程是什么？3 .点与圆的位置关系有哪几种？怎样去判断？新加初穗1 .圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.(2)确定圆的要素是圆心和半径,如图所示.(3)圆的标准方程：圆心为A(,b)f半径长为r的圆的标准方程是(x。尸+/一加2=户.当。=0时，方程为2+y2=r2,表示以原点为圆心、半径为的圆.2 .点与圆的位置关系圆的标准方程为(工一。产+&一b)2=r2,圆心

2、A(,b)t半径为r.设所给点为M(XO,*),则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上IMAI=f点M在圆A点M（X0,M）在圆上妗（XO-4+（/一b）2=r2上点在圆内IMAIV2点M在圆A内点M（X0,泗）在圆内今（工0）2+&0力）2/1 .判断下列命题是否正确.（正确的打,错误的打“X”）（1）方程（xa）?+。-b）2=M一定表示圆（）（2）若圆的标准方程为（x+陵）2+&+）2=023#0）,此圆的半径一定是0（）答案：（I）X（2）X2 .点P（m,5）与圆.H+y2=24的位置关系是（）A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定解析：选AVm2+2524,；点尸在圆外.3 .经

3、过原点，圆心在X轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是.解析：圆心是（一2,0）,半径是2,所以BI的方程是（x+2A+y2=4.答案：（x+2）2+y2=4求圆的标准方程课堂讲练设计，举能通类题题型一典例I求经过点P(Ij)和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+I=O上的圆的方程.解法一待定系数法I。=4,解得b=-3,=5.设B)的标准方程为(xa)?+。-b)2=r2,a2+b2P9则有（0一1）2+-1）2=r2,2+3Z1=0,；圆的标淮方程是Cr-4)2+u+3)2=25.法二几何法由题意知。尸是HJ的弦，其垂直平分线为x+y-1=0.Y弦的垂直平分线过圆心，由伫苫+1=。，得七明x+

4、j-1=0,Iy=13,即!心坐标为(4,一3),半径=#42+(-3)2=5.；圆的标淮方程是(-4)2+u+3)2=25.确定圆的标准方程就是设法确定圆心cm,6)及半径广，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于。，瓦，的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二.一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.活学活用已知aABC的三个顶点坐标分别为A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),求该三角形的外接圆的方程.解：法一:设所求B1的标准方程为(x-a)?+。-b)2=r2.因为A(0,5),(1f-2),C(-3,-

5、4)都在圄上，所以它们的坐标都满足H1的标准方程，(0-a)2+(5-)2=r2,于是有(1-)2+(-2-b)2=/，(-3-)2(-4-)2=Aa=-3t解得=1,7=5.故所求BJ的标准方程是Cr+3)2+U1)2=25.法二：因为A(0,5),(1,一2),所以线段A“的中点的坐标为Q,多，直线48的斜率Icab=；0，=-7,因此线段AB的垂直平分线的方程是)，一号=牛一3，即-7y+10=0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x+j+5=0.X7j10=0,由C上工.A得BO心的坐标为(-3,1)，12x+y+b=0又圆的半径长r=(-3-0)2+(1-5)2=5,故所求BO的

6、标准方程是(x+3/+，-1)2=25.典例已知圆C的圆心为C(-3,-4),且过原点O,求圆C的标准方程，并判断点M1(1,0),f2(b-1),M3(3,4)与圆C的位置关系.解因为81C过原点O,圆心为C(-3,-4),所以HIC的半径长r=IOCI=(-3-0)2+(-4-0)2=5,因此BIC的标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25.因为(一1+3)2+(0+4)2=20V25,所以点跖(-1,0)在圆C内；因为(1+3)2+(-1+4产=25,所以点皿(1,一1)在BIc上；因为(3+3)2+(-4+4)2=3625,所以点/%(3,-4)在圄C外.判断点与圆的位关系的方法(1

7、)确定圆的方程：化为(-)2+(y-b)2=产.(2)将点的坐标代入代数式(X4)2+。一R2,比较代数式的值与户的大小关系.(3)下结论：若(xa)?+。一y=产，表示点在圆上；若(x)2+(y-b)2r2,表示点在圆外；若(Xa)?+。一)2r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当dvr时，点在圆内.活学活用已知M(2,0),N(Io,0),P(11,3)。(6,1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由.解：设M,Nt尸三点确定的圆的标准方程为(x-。尸+6一。)2=/，(2-ay+b2=r2,.(10-a)2+2=r2,(11a)2+(3-ft)2=r2,4=6,解得，b=3,r2=25

8、.；过点M,N,尸的K1的方程为(x-6)2+(j-3)2=25.将点。的坐标(6,1)代入方程左端，得(6-6)2+(1-3)2=4V25,；点Q不在BI(X-6+(j-3)2=25上，题型三一卷多支感缝发散与圆有关的最值问题：.M,N,P9。四点不共BI.典例已知实数*,J满足方程(x-2)2+V=3.求:的最大值和最小值.解原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设;=，即J=Ax,当直线JHAX与HJ相切时，斜率我取最大值和最小值，此时隼W=J,解得A=1yk2-故:的最大值为3,最小值为一i一题多变1 .【变设问1在本例条件下，求y-x的最大值和最小值.解：设J-X=。，即y

9、=x+b,当y=x+力与圆相切时，蚁戏距力取得最大值和最小值，此时左黄辿=小，即=-26.故yX的最大值为-2+而，最小值为一2一而.2 .【变设问在本例条件下，求f+V的最大值和最小值.解：x2+)Q表示gj上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与S)心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又B1心到原点的距离为2,故(x2+V)nwc=(2+3)2=7+43,(x2+j2)min=(2-3)2=7-43.-Q1与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如=形式的最值问题，可转化为过点(小力和S,力的动直线斜率的最值问(2)形如/=x+勿形式的最值问题，可转化为动直

10、线产一次+注距的最值问题.(3)形如(-)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点(x,y)到定点(,6)的距离的平方的最值问题.口多毒a晨至M课后层级训练，步步提升能力层级一学业水平达标1 .方程|x|-1=71(y-I)?所表示的曲线是()A.一个圆B.两个圆2 C.半个圆D.两个半圆(x+1)2(y-1)2=1,A-b故原方程表示两个半圆.3 .若一圆的圆心坐标为(2,-3),一条直径的端点分别在X轴和)，轴上，则此圆的方程是()A.(-2)2+(y3)2=13B.(x2)2(y-3)2=13C.(-2)2(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52解析：选A直径两端点的坐

11、标分别为(4,0),(0,-6),可得直径长为213,则半径长为亚，所以所求圆的方程是(-2)2+(y+3)2=134 .已知点/1(-4,-5),3(6,-1),则以线段Ab为直径的圆的方程是()A.(x+1)2+(y-3)2=29B.(X1)2+(y3)2=29C.(x1)2+(y-3)2=116D.(X1)2(y+3)2=116解析:选BK1心为线段AA的中点(1,一3),半径为怨=(6+4+(-1+5)2=旧,所以所求I5的方程为(x1)2+(y+3)2=29.故选B.5 .已知直线/过圆.P+。3)2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则/的方程是()A.x+j-2=0B.-j2

12、=0C.x+y-3=0D.-y+3=0解析：选DI2+,-3)2=4的圆心为点(0,3).因为直线/与直线+y+1=O垂直，所以直线I的斜率&=1由点斜式得直线/的方程是j-3=x-0,化简得-y+3=0.故选D.5 .若实数X,)，满足(x+5)2+G-12)2=142,则好+产的最小值为()A.2B.1C.3D.2解析：选B炉+炉表示的上的点(,j,)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14-52+122=1.6 .若点P(-1,5)在圆2+V=雁2上，则实数m=.解析：P点在圆x2+y2m2上,(-1)2(V3)2=4=w2,n=2.答案：27 .圆心为直线1y+2=0与直线

13、2xj-8=0的交点，且过原点的圆的标准方程是Pr-y+2=0,.解析：由1。八可得x=2,)，=4,即B1心为(2,4),从而r=)2=r2,(4-)2+(2-Z)2=A消去r2,得力=505.令X=0,则(yb)2=r2一02,产力可产一*在y轴上的截距之和是2b.令y=0,则(x)2=r2-加，=0J户一抉,，在X轴上的截距之和是2a.：2a+2b=4,即0+b=2.代入，得a=，.F=.M*92+G-82T；园的标准方程为(工一32+0一|)2=曙.层级二应试能力达标1 .点PmJO)与圆/-4+U-1)2=2的位置关系是()A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.不确定解析：选CV(-1)2