第五章 相交线与平行线最全题型总结.docx

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1、第五章相交线与平行线题型总结5.1.1相交线探究点一：对顶角和邻补角的概念【类型一对顶角的识别SB下列图形中NI与N2互为对顶角的是（解析：观察N1与N2的位置特征，只有C中N1和N2同时满足有公共顶点，且NI的两边是N2的两边的反向延长线.故选C.方法总结：判断对顶角只看两点：有公共顶点；一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.类型二邻补角的识别囱如图所示，直线AB和CO相交所成的四个角中，NI的邻补角是解析：根据邻补角的概念判断：有一个公共顶点、一条公共边，另一边互为延长线.Z1和n2、Z1和/4都满足有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为延长线，故为邻补角.故答案为N2和N4.方法

2、总结：邻补角的定义包含了两层含义：相邻且互补.但需要注意的是：互为邻补角的两个角一定互补，但互补的角不一定是邻补角.探究点二：对顶角的性质类型利用对顶角的性质求角的度数0B如图，直线A8、。相交于点。，若NB00=42,OA平分NCoE,求NOoE的度数.解析：根据对顶角的性质，可得/AOC与的关系，根据OA平分NCo,可得NCoE与NAOC的关系，根据邻补角的性质，可得答案.解：由对顶角相等得NAoC=N800=420OA平分/C0E,.NC0E=2NA0C=84.由邻补角的性质得NQOE=180NCoE=I8084。=96。.方法总结：解决此类问题的关键是在图中找出对顶角和邻补角，根据两种

3、角的性质找出已知角和未知角之间的数量关系.类型二结合方程思想求角度曲如图，直线AC,Er相交于点0,。是NAo8的平分线，。七在NBOC内，NBoE=QNEOC,NDoE=72,求NAO产的度数.解析：因为已知量与未知量的关系较复杂，所以想到列方程解答，根据观察可设N80E=x,则NAOF=NE0C=2x,然后根据对顶角和邻补角找到等量关系，列方程.解：设N80E=x,则乙4。尸=NEoC=2.AOB与NBOC互为邻补角，ZAOB13=180-3.OO平分NAO8,N。OB=ENAo8=90-p.VZD0E=72o,90o3一那+x=72,解得x=36.JNAo/=2x=72.方法总结：在相交

4、线中求角的度数时，就要考虑使用对顶角相等或邻补角互补.若已知关系较复杂，比如出现比例或倍分关系时，可列方程解决角度问题.【类型三】SB如图，要测量两堵墙所形成的NAoB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？请你写出测量方法，并说明几何道理.解析：可以利用对顶角相等的性质，把NAoB转化到另外一个角上.解：反向延长射线OB到&反向延长射线。4到凡则/E。F和/408是对顶角，所以可以测量出NEOF的度数，NEoF的度数就是NAOB的度数.方法总结：解决此类问题的关键是根据对顶角的性质把不能测量的角进行转化.探究点三：与对顶角有关的探究问题SB我们知道：两直线交于一点，对顶角有2对；三条直线交于一点

5、，对顶角有6对;四条直线交于一点，对顶角有12对(2)(22)条直线交于一点，对顶角有对.解析：(1)仔细观察计算对顶角对数的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律,得出结论，代入数据求解.如图，两条直线交于一点，图中共有,(4-2)X4=2对对顶角；如图，三条直线交于一点，图中共有（6：）义6=6对对顶角；如图，四条直线（89）Y2交于一点，图中共有=12对对顶角按这样的规律，IO条直线交于一点，那（202）X20么对顶角共有4=90（对）.故答案为90;（2）利用中规律得出答案即可.由（1）得（22）条直线交于一点，对顶角的对数为2“（2；1）.故答案为（-1）.方法总结：解决探索规律的

6、问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化规律，发现数据的变化特征.三、板书设计邻补角两条直线相交，对顶角球角的大小.对顶角相等.5.1.2垂线探究点一：垂线的概念类型_利用垂直的定义求角的度数例J如图，己知点。在直线48上，COJ_。于点。，若NI=I50,则N3的度数解析：先根据邻补角关系求出N2=180-150=30,再由CO_1DO得出NC。=90,最后由互余关系求出/3=90/2=9030=60.故选D.方法总结：两条直线垂直时，其夹角为90；由一个角是90也能得到这个角的两条边是互相垂直的.类型二垂直与对顶角、邻补角结合求角的度数SE如图，N1=30,AB1CD,垂足为O

7、,E尸经过点。.求/2、N3的度数.解析：首先根据垂直的概念得到/500=90,然后根据N1与N3是对顶角，N2与N3互为余角，从而求出角的度数.解:由题意得/3=/1=30（对顶角相等）.AB-1CD（已知），NBoD=90,（垂直的定义），Z3+Z2=90o,即30+N2=90,/2=60.方法总结：解决本题的关键是根据垂直的概念，得到度数为90的角，然后根据对顶角、邻补角的性质解决.探究点二：垂线的画法颤1（I）如图，过点P画A8的垂线；（2）如图，过点夕分别画04、08的垂线;（3）如图，过点4画BC的垂线.方法总结：垂线的画法需要三步完成：一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使

8、其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线.探究点三：垂线的性质（垂线段最短）如图，是一条河，C是河边A8外一点.现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由.解析：根据垂线的性质可解，即过C作CEJ根据“垂线段最短”可得CE最短.解：如图所示，沿CE铺设水管能让路线最短，因为垂线段最短.AB占方法总结:在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问题时，要依据“两点之间,线段最短”和“垂线段最短”来解决.探究点四：点到直线的距离SB如图,在aABC中，过点C作CD垂足为。,

9、则点C到直线AB的距离是（）A.线段CA的长B.线段COC.线段A。的长D.线段CO的长解析：根据点到直线的距离的定义：直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，可得点C到直线AB的距离是线段Co的长.故选D.方法总结：点到直线的距离是直线外一点到直线的垂线段的长度，而不是垂线段.三、板书设计r垂线的定义一落求最短距离垂线的作法1二移.三画垂线的性质：垂线段最短5.1.3同位角、内错角、同旁内角探究点一：识别同位角【类型一】HB如图，Z1和N2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？Z1和Z3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？解析:识别同位角要弄清哪两条直线被

10、哪一条直线所裁.也就是说,在辨别这些角之前,要弄清哪一条直线是横线，哪两条直线是被横线.解：NI和N2是直线E尸、QC被直线AB所截形成的同位角，NI和/3是直线A8、CD被直线EF所截形成的同位角.方法总结：同位角中的“同”字有两层含义：一同是指两角在截线的同旁，二同是指它们在被截两直线同方向；在表述“三线八角”中某种位置关系的角时，可用以下方法:“NX和/X是直线X和直线X被直线X所载形成的X角”.画下列图形中，N1和/2不是同位角的是（）解析：选项A、B、D中，Z1与N2在横线的同侧，并且在被栈线的同一方向，是同位角，即在图中可找到形如“F”的模型；选项C中，NI与N2的两条边都不在同一

11、条直线上，不是同位角.故选C.方法总结：确定两个角的位置关系的有效方法一描图法：把两个角在图中“描画”出来；找到两个角的公共直线；观察所描的角，判断所属“字母”类型，同位角为“F”型.类型三数同位角的对数如图，直线小/2被/3所截，则同位角共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对解析：图中同位角有：NI和N5,N2和N6,N3和N7,N4和N8,共4文寸.故选方法总结：数同位角的个数时，应从各个方向逐一观察，避免重复或漏数.探究点二：识别内错角、同旁内角n如图，下列说法错误的是（）A. NA与NB是同旁内角B. N3与NI是同旁内角C. N2与N3是内错角D. N1与N2是同位角解析：根据同位

12、角、内错角、同旁内角的基本模型判断.A中NA与NB形成“U”型,是同旁内角；B中/3与N1形成“U”型，是同旁内角；C中N2与N3形成“Z”型，是内错角；D中NI与N2是邻补角，该选项说法错误.故选D.方法总结：在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线.同位角的边构成“F”型，内错角的边构成“Z”型，同旁内角的边构成“U”型.如图所示，直线。E与N。的两边相交，则NO的同位角是,N8的同旁内角是.解析：直线。E与/。的两边相交，则No的同位角是N5和/2,N8的同旁内角是N1和N0

13、.故答案为25和N2,NI和/0.易错点拨：找某角的同位角、同旁内角时，应从各个方位观察，避免漏数.三、板书设计同位角“F”型内错角“Z”型.同旁内角“U”型5- 2平行线及其判定5.2.1平行线探究点一：平行线的概念SB卜列说法中正确的有：.(1)在同一平面内不相交的两条线段必平行;(2)在同一平面内不相交的两条直线必平行;(3)在同一平面内不平行的两条线段必相交;（4）在同一平面内不平行的两条直线必相交；（5）在同一平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、相交和垂直.解析：根据平行线的概念进行判断.线段不相交，延长后不一定不相交，（1）错误；同一平面内，直线只有平行和相交两种位置关系，（2

14、）（4）正确，（5）错误；线段是有长度的，不平行也可以不相交，（3）错误.故答案为（2）（4）.方法总结：同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交.两条线段平行、两条射线平行是指它们所在的直线平行，因此，两条线段不相交不意味着它们所在的直线不相交，也就无法判断它们是否平行.探究点二：过直线外一点画已知直线的平行线如图所示，在NAo4内有一点P.（1）过点P画POA；过点Piii/2。8；（3）用量角器量一量/i与/2相交的角与NO的大小有怎样的关系.解析：用两个三角板，根据“同位角相等，两直线平行”来画平行线，然后用量角器量一量与/2相交的角，该角与N。的关系为相等或互补.解：（1）

15、（2）如图所示；（3）与/2夹角有两个：Z1,N2；N1=NO,N2+NO=180,所以G和/2的夹角与N。相等或互补.易错点拨：注意/2与N。是互补关系，解答时容易漏掉.探究点三：平行公理及其推论【类型一】SB有下列四种说法：（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（2）同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直；（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短;（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行.其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：根据平行公理、垂线的性质进行判断.（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；（2）同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直，正确；（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中