36：线性规划的概念(答案版).docx

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1、3.6：线性规划的概念（答案版）本文档内字体为阿里巴巴普惠体R，CTR1+A全选可调整字体属性及字体大小-CA1-FENGHA1NetworkInformationTechno1ogyCompany.2023YEAR:线性规划目录：(1)线性规划的基本概念(2)线性规划在实际问题中的应用【知识点1：线性规划的基本概念】(1)如果对于变量X、y的约束条件，都是关于X、y的一次不等式，则称这些约束条件为线性约束条件Z=F(X,)，)是欲求函数的最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数当“乂力是x、y的一次解析式时，Z=/)，)叫做一线性目标函数_.(2)求线性目标函数在线性约束条件下

2、的最大值或最小值问题，称为线性规划问题；满足线性约束条件的解伉)，)叫做可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做一最优解x+y2例题：若变量x、y满足约束条件卜,贝h=+y的最大值和最小值分j0别为(B)A.4和3B.4和2C.3和2D.2和0分析：本题考查了不等式组表示平面区域，目标函数最值求法.I解：画出可行域如图作/0：2x+y=0所以当直线z=2x+y过A(2,0)时Z最大，过8(1,0)时Z最小ZgX=4，Zmin=2yx变式1:已知Z=2x+y,式子中变量X、y满足条件x+y9则Z的最大值J-1是_3解：不等式组表示的平面区域如图所示.作直线/

3、,:2a+.、()，平移直线/,当直线/“经过平面区域的点A(2,-1)时，Z取最大值2x2-13.x-4y-3变式2:设z=2x+y,式中变量X、y满足条件3x+5y25,求Z的最大值和x1最小值分析：由于所给约束条件及目标函数均为关于x、y的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解解：作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所示.把二二2x+y变形为)二-2x+二,得到斜率为-2,在y轴上的截距为z,随Z变化的一族平行直线.由图可看出，当直线2x+、经过可行域上的点A时，截距Z最大，经过点B时，截距Z最小.解方程组2-3二()得A点坐标为(5,2),解方程组2,得B点坐标为

4、(1.1).r-4y+3=0所以25+2-12,zmir：2x1+1-3.x+y6变式3:若变量X、y满足约束条件x-3y-2,则z=2x+3y的最小值为x（C）A.17B.14C.5D.3解:作出可行域（如图阴影部分所示）.j:作出直线2+3.0.平移直线1到1的位置，使直线1通过可行域中的A点（如图）这时直线在y轴上的截距最小，z取得最小值.解方程组二,得最优解:，x-3y=-2V=I=21+31=5【知识点2:线性规划在实际问题中的应用】例题：某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A、B两种规格金属板，每张面积分别为2m2与3m2.用A种规格金属板可造甲种产品3

5、个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个.问A、B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省解：设A、B两种金属板分别取X张、y张，用料面积为z,则约束条件为3x+6y455x+6y550y0目标函数为z=2x+3y.作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域)，如图所示：z=2x+3y变为、一二+,得斜率为二，在y轴上截距为三且随Z变化的3333一组平行直线.当直线一2+3过可行域上点M时，截距最小，Z最小.解方程组，得M点的坐标为(5,5).此时=25+35=25(wr).答：当两种金属板各取5张时，用料面积最省.变式1:4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于

6、22元，而6个茶杯与3包茶叶的价格之和大于24元，则2个茶杯和3包茶叶的价格比较(A)A.2个茶杯贵B.3包茶叶贵C.相同D.无法确定解：设茶杯每个X元，茶叶每包y元，则4x+5y2224x,yGNU取值的符号判断如下由、:VVTU=O时，过点4(3,2),往下平移.经过可行域内的点-?0,即2%3y.往上平移不经过可行域内的点.选A.x-y+20变式2已知X、y满足r+y-40,求:2xy5O(1)z=x2+y2-IOy+25的最小值;z=21的取值范围.x+1分析：(1)将Z化为Vj,问题转化为求可行域中的点与定点的最小距离问题；(2)将式子化为或iD,问题转化为求可行域中的点与定x-(-

7、1)点的连线的斜率的最值问题解：作出可行域如图并求出点A、B的坐标分别为(1,3)(3.1)二=八“,5),表示可行域内任一点()到定点M(0.5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线MN,垂足为N,则:Zmm=IMNFZ=VN=表示可行域内任一点(KY)与定点Q(T1I)连线的斜率,x+1x-(-1)可知，kAQ最大,kQB最小.而、八一,1+1Z的取值范围为.2.121点评:求非线性目标函数的最值，要注意分析目标函数所表示的几何意义,通常与截距、斜率、距离等联系，是数列结合的体现.0x2变式3在条件0y2下，Z=(X+1)2+(y-1)2的取值范围是二二x-y解：由约束条件作出可行域如图/目

8、标函数表示点(x，y)与点M(I，1)的距离的平方.由图可知，Z的最小值为点M与直线I的距离的平方.即一z的最大值为点M(1,1)与点4(2,()的距离的平方:即二=(2)2(-O)=2.Az的取值范围为-.2.23x+2y10变式4设变量X、y满足条件厂+yC求S=5x+4y的最大值.xZ,yZxO,yO一错解：依约束条件画出可行域如图所示3r如先不考虑X、y为整数的条件，则当直线、一小、过点时，取最大值，.因为X、y为整数，而离点A最近的整点是，这时，所要求的最大值为13.分析：显然整点/满足约束条件，且此时，故上述解法不正确.对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点.而要先对边界点作目标函数-小的图像，则最优解是在可行域内离直线最近的整点.正解：依约束条件画出可行域如图示作直线/：5x+4)O平行移动直线1经过可行域内的整点8(2,1)时，S.14.