三角形四心的向量性质和应用[教师用答案版].docx

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1、-三角形“四心的向性质及其应用三角形“四心的概念介绍(1)重心一三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心一三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心一三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心一三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等.进而得：221次+历=弓OA由3,0,C共线，得：OD=ICDIBC由得:1。川BC丽+圜抚A代入(*)结论得OBC次+OCA+SAO八8OB+SAOC4+SKQABc=SMOA+AO)=0.消去分母得：S&OBCOA+SAOCAOB+S&OABOC=O证毕.A,B另证：作OHHAB

2、QGHAC,如图：AGQH为平行四边形;由S&OBC0A+SAoGA+SsobOC反方向思考：设。在AABC的内部，假设有正实数4,4,4满越.B必有：4：y：4=SRBoC*SACoASMos,证明：作：a,=ja,OB=2OB,OC=A3OC则而+F,+c,=,则。为A8C的重心，则：SZOC=C,OA,=A,OB.设为SABOc=，SABOC=SACOA=44S&COASSS从而得：4.2y=YY：Y-=SA8OC：SAeASos2*验证式思考：先证引理：假设ZB不共线，对万，有7万=o且。万=（）,必有万=6.证明：假设76必有7,万且坂，万，得力力，与题设矛盾，故必有方=6.再证：设

3、NBOC=,ZCOA=t则ZAO3=2r-由OA(SaobcOA+SaocaOB+SOAB.C)=-0A1O3OCsin+sin(-)=0;有对称性知：OB(SobcOA+SocOB+SobC)=O,又O1丽不共线,故：必有S&OBcOA+SXo6OB+SAOABOC=成立.一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G是aw的重心o/=；（而+公）o出+演+友=6=55=；（况+为+反）（。为该平面上任意一点）略证：Sagbc:Sagca:Sagar=1:1:1,得：GA+GB+GC=0.变式：DE,F分别为AABC的边BGAGAB的中点.则而+而+而=6.二、三角形的外心的向量表示及应用*2*2

4、2知识：。是AABC的外心O1OAHo8=OC1oOA=OB=OC略证：Snoi.c:Sca:50=sin2A:sin2B:sin2C,得：sin2CiA+sin2OB+sin2C-OC=OZ,rJV-ZvZ1ZIf常用结论：。是AABC的外心=MZO=1场11；n己而二匹J1.22三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H是AABC的垂心O巨崩=闻玩=阮京略证:扩展:Sahrc:Sahca:S.AB=tanA:tan:tanC,得：tanAHA+tanBHS+tanCHC=O假设。是ZXABC的外心，点”满足：OH=OA+OB+OC,则”是ZWJC的垂心.证明:如图:3E为直径，”为垂心，。为

5、外心，。为BC中点;AHIBCECA-BC有.JCH_1AanAHECAHC砂J平行四边形EAYAB=CHHEA进而得到：AHECSAH=EC,即：AH=EC；又易知：EC=2OD=OB+OC；故:AH=OB+OC=OH-OA,即：OH=OA+OBOC.又:OA-OB+OC=3OG(G为重心)，故：OH=3OG；故:得到欧拉线：ZVSC的外心。，重心G,垂心三点共线（欧拉线），且。d=1丽.证毕.四、三角形2的内心的向量表示及应用(IbXc=O-(BA公、=0AABIIAC1AbIACI,(BA咐=0o-tCBBA=0B1-前IBC1JBh面1IBA1J或CAiCB)=0京匹BC十旦ICAIJ

6、=知识：/是AABC的内心OsinMsinB+sinCC=注：式子中=8C|,。=IcA1,c=A8,。为任一点.略证：Sibc:Sica:Siab=a:b:c=SYnAisrnB:sinC,得之.五.欧拉线：/MBC的外心。，重心G,垂心三点共线（欧拉线），且。d二丽.（前已证）2测试题一.选择题1.。是A3C所在平面上一定点，动点尸满足加=而+几（而+历，,-）,则点P的轨迹一定通过ABC的0A.外心B.内心C.重心D.垂心（03全国理4）0是ABC所在平面上一定点，动点P满足OP=OA+=+=）,2,-o）AC3.则点P的轨迹一定通过MBC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心ARAC。

7、是ABC所在平面上一定点，动点尸满足OP=OA+1-j）A7?AjHcosBACcosC则点尸的轨迹一定通过MBC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心。是AABC所在平面上一定点，动点尸满足而=况+1,+|一0），,-o）,ABsinBIAqSinC则点尸的轨迹一定通过AABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心5 .。是AABC所在平面上一定点，动点尸满足OC=+十厂半一，4R,21MCOS8IAqeOSC,则点P的轨迹一定通过AABC的().A.外心B.内心C.重心D.垂心6 .。是AABC所在平面上一定点，动点尸满足丽=g(1-4)次+(1-4)丽+(1+24)反,4R*,则点P的轨

8、迹一定通过ZkABC的().A.内心B.垂心C.重心DAB边的中点7 .。是ABC的重心，动点P满足而=:(!厉+!而+2沆),则点P一定为4ABC的()322A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点*228 .在AABC中，动点尸满足：CA=CB-2ABCP,则P点轨迹一定通过aABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心9 .A3C三个顶点A、B、C及平面内一点尸，满足西+丽+丽=6,假设实数4满足：AB+AC=AAPf则的值为()3A.2B.-C.3D.6210 .设点P是AABC内一点，用SAASC表示A3C的面积，令4=恒，k=沁，4=兴坦.SA

9、8CABCSsc定义f(P)=(44,4)，假设/(G)=(；4,；)J(Q)=(C)则()A.点。在AABG内B.点。在ABCG内C.点。在ACAG内D.以上皆不对11 .假设A8C的外接圆的圆心为0,半径为1,0A+0B+0C=(),则方55=()A.-B.0C.1D.-2222222”212.。是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，假设OA+BC=OB+CA=OC+AB,A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形14. ABC三个顶点A、B、C,假设通2=赤n+EW+反1不，则ABC为()A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.既非等腰

10、又非直角三角形二.填空题15. A8C的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为OH=m(OA+OB+OC),则实数加=1.16. A8C中，AB=,AC=3,BC=近，O为重心，则而就二N217. 点。在A3C内部且满足次+2方+3反1=6,则SMBc：SMoC=)18. 点。在8C内部且满足印力=而+g/，则SAA8c：SMoB=419. MBC中，AB=AC=5,BC=6,/为MBC的内心，且由=力而+阮，则；1+=.16证明：由函+函+砥=函+西=一丽平方得：1+1+2。60=1=2。45=1从而得：I桃I=赤旌=J（配一函A=J1+2丽函=VJ同理可得：IaA1=I66I=V1即A66

11、为正三角形.26 .在AABC中，AB=2,AC=5,A=60。，求从顶点A,8出发的两条中线标,屁的夹角的余弦值.解：设就i=Z,荏=立贝IJ且而=g(Z+B),说:=/一九故:COS=标屏_3_4_4历|而|函有瓦一沟9，“I一I一1-22则Ao8E=(+Z?)-(54-6)=/(4-4/-27/)7127 .”是ZXABC的垂心，且IAHI=IBCI,试求NA的度数.解：设AABC的外接圆半径为R,点。是A4BC的外心。.H是AABC的垂心.OH=OA+OB+OC：.=OH-OA=OB+0C,=2A AH2=AHI2=(OB+OC)2=2R2(+cos2A) BC=0C-0B， BC2=

12、|BCI2=(OC-OB)2=2R2(1-cos2A)VIAH|=|BCI,1+cos2A=1-cos2A：cos2A=0而NA为ZVRC的内角，02A360o从而2A=90。或2A=270oNA的度数为45。或135。.28. O(0,0),B(1O),CS,c),试写出408C的重心G,外心尸，和垂心”的坐标，并证明G,F,三点共线.(2002全国).解：易知G(1”33设方3,%),由OJ_3C,且丽=S,%),阮=(O-1c),得丽豆=S,%)S-1,C)=双。一1)+%c=O,得为=,即cC设F(y),则由IM=I/C=J+y2=S-)2+(y-c)2=y=即F(U).2422c22

13、c而且：氏二,3一33-Y),丽=(g111,36-3一一Y)66c22c易知：FH=3FG(又有公共端点尸)，故F,G,H三点共线.29. G、M分别为不等边AABC的重心与外心，A(TQ)、B(1o)且丽而，(1)求点C的轨迹方程;(2)假设直线/过点(0,1),并与C的轨迹曲线交于尸、。两点，且满足OPOQ=O(。为坐标原点)，求直线/的方程.解：设C(x,y),则G(若)，再设M(0,%)，由丽r茄，易得：%=.故外心(0,1)；化简得C的轨迹方程为：3%2+=3(xyO)(2)略30. P是非等边AABC外接圆。上任意一点，(外接圆半径为R)试问尸位于何处时，PA2+PB2+PC?取得最大值和最小值.解：如图，设A4BC的外接圆半径为R,点。是AABC的外心.=6R2+2POOH.(“为ZBC的垂心)忆故有：当尸为0”的反向延长线与外接圆的交点时，有最大值6R2+2Q;当P为OH的延长线与外接圆的交点时，有最小值6R2-2R0H.