小学五年级奥数第5课《奇数与偶数及奇偶性的应用》试题附答案.docx

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1、小学五年级上册数学奥数知识点讲解第5课奇数与偶数及奇偶性的应用试题附答案一、基本概念和知识1.奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。_偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表小O特别注意，因为O能被2整除，所以O是偶数。2.奇数与偶数的运算性质性质1：偶数偶数二偶数，奇数士奇数二偶数。性质2：偶数士奇数二奇数。性质3：偶数个奇数相加得偶数。性质%奇数个奇数相加得奇数。性质5：偶数X奇数二偶数，奇数X奇数二奇数。二、例题利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题.例11+2+3+1993的和是奇数？还

2、是偶数？例2一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150,这个数是多少？例3元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？例4己知a、b、C中有一个是5,一个是6,一个是7.求证a-1,b-2,c-3的乘积一定是偶数。例5任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于99%例6用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：abcd-a=1991abcd-b=1993abcd-c=1995abcd-d=1997试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。例7桌上有9只杯子，全部口朝

3、上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。例8假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动（nT）个开关，能否把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。例9在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。例10如下页图，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么？例11某校六年级学生参加区数学竞赛，

4、试题共40道，评分标准是：答对一题给3分，答错一题倒扣1分.某题不答给1分，请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。答案二、例题利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题.例11+2+3+1993的和是奇数？还是偶数？分析此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性.此题可以有两种解法。解法11+2+3+1993(1+1993)X1993=9971993,又.997和1993是奇数，奇数X奇数二奇数， .原式的和是奇数。解法2：.1993+2=996T,11993的自然数中，有996个偶

5、数，有997个奇数。.996个偶数之和一定是偶数，又奇数个奇数之和是奇数， 997个奇数之和是奇数。因为，偶数+奇数二奇数，所以原式之和一定是奇数。例2一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150,这个数是多少？解法1：相邻两个奇数相差2, 150是这个要求数的2倍。 这个数是150+2=75。解法2：设这个数为x,设相邻的两个奇数为2a+1,2a-1(a1).则有(2a+1)X-(2a-1)X二150,2ax+-2ax+x=150,2x=150,X二75。，这个要求的数是75。例3元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇

6、数，还是偶数？为什么？分析此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关。解：由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次.那么贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。送贺年卡的人可以分为两种：一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数。另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数二所有人送出的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数二偶数T禺数二偶数。他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数。所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。例4己知a、b、C中有一个是5,一个是6,一个是7.求证

7、aT,b-2,c-3的乘积一定是偶数。证明：Va.b、C中有两个奇数、一个偶数，a、C中至少有一个是奇数，aT,c-3中至少有一个是偶数。又偶数X整数二偶数，A(a-1)(b-2)(C-3)是偶数。例5任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。证明：设原数为abc,设改变其各位数字顺序后得到的新数为a，bc，。假设原数与新数之和为999,即通+abCJ=999。则有a+ay=b+b=c+c-9,因为9不会是进位后得到的又因为a,、b，、c，是a、b、C调换顺序得到的，所以a+b+c=a+b+c，。因此，又有(a+a)+(b+b,)+(c+cj,)=9+

8、9+9,即2(a+b+c)=39o可见：等式左边是偶数，等式的右边(39=27)是奇数.偶数声奇数.因此，等式不成立.所以，此假设“原数与新数之和为999”是错误的，命题得证。正结法这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法,再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的,从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证例6用代表整数的字母榛b、c、d写成等式组:abcd-a=1991abcd-b=1993abcd-c=1995abcd-d=1997试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。解：由原题等式组可知：a(bcd-1)=1991,

9、b(acd-1)=1993,c(abd-1)=1995,d(abc-1)=1997V19911993、1995、1997均为奇数，且只有奇数X奇数二奇数，.a、b、c、d分别为奇数。aXbXcXd二奇数O.a、b、c、d的乘积分别减去a、b、c、幅，一定为偶数.这与原题等式组矛盾。不存在满足题设等式组的整数a、b、c、do例7桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转6

10、只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。例8假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动(n-1)个开关，能否把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。证明：当n为奇数时，不能按规定将所有的灯关上。因为要关上一盏灯，必须经过奇数次拉动它的开关。由于n是奇数，所以n个奇数的和二奇数，因此要把所有的灯(n)都关上，拉动拉线开关的总次数一定是奇数。但因为规定每次拉动nT个开关，且nT是偶数，故按规定拉动开关的总次数一定是偶数。奇数沪偶数，当n为奇数时，不能按规定将所有灯都关上。当n为偶数时，能按规定将所有灯关上.关灯的

11、办法如下:设灯的编号为1,2,3,4,，n.做如下操作:第一次，1号灯不动，拉动其余开关；第二次，2号灯不动，拉动其余开关；第三次，3号灯不动，拉动其余开关；第n次，n号灯不动，拉动其余开关.这时所有的灯都关上了。例9在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。证明：假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色，即所有珠子都是两次染同色.设第一次染In个珠子为红色，第二次必然还仅染这In个珠子为红色.则染红色次数为2m次。I2m卢1987（偶数声奇数）.假设不成立。，至少有

12、一个珠子被染上红、蓝两种颜色。例10如下页图，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么？解：任意挑选三棵树挂上小牌，假设第一棵挂牌的树与第二棵挂牌的树之间相距冰，第二棵挂牌的树与第三棵挂起点牌的树之间相距b米，那么第一棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间的距离c=a+b（米）（如卞图）,如果a、b中有一个是德致，题目巨得证；如果a、b都是奇数，因为奇数+奇数二偶数，所以C必为偶数，那么题目也得证。例11某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题给3分，答错一题倒扣1

13、分.某题不答给1分，请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。解：对每个学生来说，如道题都答对共得120分，是个偶数.如果答错一道，相当于从120分中扣4分.不论答错多少道，扣分的总数应是4的倍数，即扣偶数分.从120里减去偶数.差仍是偶数.同样，如果有某题不答，应从120里减去（3-1）分.不论有多少道题没答，扣分的总数是2的倍数，也是偶数.所以从120里减去偶数，差仍是偶数.因此，每个学生得分数是偶数，那么全年级参赛学生得分总和也一定是偶数.牌的树之间相距b米，那么第一棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间的距离c=a+b（米）（如下图），如果a、b中有一个是偶数，题目己得证；如果a、b都是奇数

14、，因为奇数+奇数二偶数，所以C必为偶数，那么题目也得证。例11某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题给3分，答错一题倒扣1分.某题不答给1分，请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。解：对每个学生来说，40道题都答对共得120分，是个偶数.如果答错一道，相当于从120分中扣4分.不论答错多少道，扣分的总数应是4的倍数，即扣偶数分.从120里减去偶数.差仍是偶数.同样，如果有某题不答，应从120里减去（3-1）分.不论有多少道题没答，扣分的总数是2的倍数，也是偶数.所以从120里减去偶数，差仍是偶数.因此，每个学生得分数是偶数，那么全年级参赛学生得分总和也一定是偶数

15、.习题五1有IOO个自然数，它们的和是偶数.在这100个自然数中，奇数的个数比偶数的个数多,问：这些数中至多有多少个偶数？2 .有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？3 .求证：四个连续奇数的和一定是8的倍数。4 .把任意6个整数分别填入右图中的6个小方格内，试说明一定有一个矩形，它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。5 .如果两个人通一次电话，每人都记通话一次，在24小时以内，全世界通话次数是奇数的那些人的总数为。（A）必为奇数，（B）必为偶数，（C）可能是奇数，也可能是偶数。6 .一次宴会上，客人们相互握手.问握手次数是奇数的那些人的总人数是奇数还是偶数。7 .有12张卡片，其中有3张上面写着1,有3张上面写着3,有3张上面写着5,有3张上面写着7.你能否从中选出五张，使它