曹宗庆椭圆的定义与方程.docx

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1、椭圆的定义与方程一、教学设计1 .教学内容解析本节课研究的是普通高中课程标准实验教科书数学选修21（人教A版）第二章“圆锥曲线与方程第二节椭圆的定义和方程的内容.普通高中数学课程标准（2017年版）中，将本节内容安排在选择性必修课程“几何与代数这一主题中.这一主题都是运用代数方法研究几何问题.在这一主题下的平面解析几何单元学习中，通过建立平面直角坐标系，先后研究了直线、圆、圆锥曲线的几何特征，导出相应方程：用代数方法研究它们的几何性质.这种数形结合的思想方法贯穿了这一主题研究的始终.而本节课主要是完成椭圆研究的第一部分，即让学生经历从具体情境中抽象出椭圆定义，再由定义推导方程的过程.因此本节内

2、容起到的是承上启下的作用.此外，本节课立足单元整体教学设计，在充分挖掘教材内容的前提下，整合教材中与“椭圆的定义和方程有关内容（如“章引言中提到椭圆的起源、椭圆的应用、椭圆的研究方法；【探究与发现】中提到的旦德林双球证明椭圆上的点满足的几何性质；例题与习题中提到的椭圆的其它生成方式（主要表现为第二、第三定义的形式）以及椭圆的简单应用）.所以本节课并不局限于建构出第一定义、推导出方程，还引导学生梳理教材中除第一定义外椭圆的其它生成方式，了解这些生成方式之间的联系（主要是第一、第二、第三定义的联系）以及椭圆的简单应用.在此过程中进一步体会坐标法以及数形结合的基本思想.同时，本节课的另一特点就是将椭

3、圆的研究历史融入教学中.在椭圆起源与发展的历史背景中，还有一些训练学生思维的教学资源（如：构造旦德林双球将从借助空间几何体圆锥研究椭圆转化为在平面内研究椭圆的化归思想；推导方程中洛必达使用的和差术、赖特使用的平方差法所蕴含的参数思想、方程思想以及对称、对偶的思想）以及培养学生价值观的教育资源（如：从历史传说中感受椭圆源于生活、应用于生活的理念；古代数学家探求真理的理性与智慧）.在此过程中，将数学“史学形态转化为“教育形态.根据以上分析，本节课的教学重点确定为:椭圆的定义与标准方程，坐标法的基本思想.2 .教学目标设置普通高中数学课程标准（2017年版）对本节课内容的要求是：经历从具体情境中抽象

4、出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程.结合以上目标要求以及对教材的研究，将本节课的教学目标确定为：（1）通过回顾古代数学家对圆锥曲线的研究历史，学生了解圆锥曲线的来由，体验其中蕴含的数学文化，重点提升直观想象等核心素养.（2）学生经历对“旦德林双球”模型的探究以及相互合作亲自动手画椭圆的过程，抽象出椭圆的定义，重点提升逻辑推理和数学抽象等核心素养.（3）能依据定义推导椭圆的标准方程，同时了解椭圆的不同生成方式以及这些方式之间的联系（主要指三个定义的联系），重点提升数学运算等核心素养.（4）能够将与椭圆有关的实际问题抽象成数学问题，并用“坐标法”解决问题.体会到数学来源于生活、应用于生活的理念

5、，重点提升数学建模等核心素养.3 .学生学情分析本节课的授课对象为华中师大一附中高二理科科技班学生，学生的基础很好，能力也很强，具有一定的自主探究与合作学习的能力.在必修内容“直线与方程、“圆与方程”两章的学习中，学生己经初步掌握了运用“坐标法来研究几何问题.但是缺少主动通过方程蕴含的几何意义研究问题的意识.日常生活中，学生对椭圆的大致形状已经有了一定的感性认识，但并不清楚椭圆上的点满足的几何特征.本节课立足数学史，借助“旦德林双球”模型来研究椭圆上的点满足的几何特征.尽管学生已经学习了立体几何的相关知识，但由于“旦德林双球模型构造巧妙，位置关系、数量关系较多.所以学生不易从该模型中直接观察到

6、椭圆上的点满足的几何特征.另外，学生已具备了求曲线方程的一般方法.在探究出椭圆的定义后，学生对“建系、设点、限定条件、坐标化”不会感到困难，但对于含两个根号的方程的化简，学生之前很少接触，完成有些困难.根据以上分析，本节课的教学难点确定为:椭圆定义的导出及椭圆标准方程的推导，椭圆多种生成方式（第定义、第二定义、第三定义）之间的联系.4 .教学策略分析本节课不是一堂传统的新课.采取“课前学生依据研究性学习学案的问题提示查阅资料自学、小组内成员交流学习成果；课中各组展示学习成果、教师引导拓展探究；课后继续课上未完成的探究这样一种“探究展示过程贯穿于课前、课中、课后”的研究性学习方式来进行.通过“查

7、、演、感、证、画、比、算、整、联、赏、用”相结合的做法，使学生经历“探（椭圆历史之旅）、研（椭圆定义之理）、推（椭圆方程之道）、究（椭圆生成之变）、赏（椭圆曲线之用）”的完整探究过程.具体来说一下五个过程：探椭圆历史之旅（查、演）：通过研究性学习学案中的问题串提示，引导学生借助互联网查阅有关椭圆的起源与发展的三个重要阶段,三个阶段分别为起源和截线定义阶段、第一定义阶段、“旦德林双球”证明阶段.通过数学兴趣小组的同学在课上演绎历史短剧的形式带学生重温椭圆的发展历程.研椭圆定义之理（感、证、画）：尽管历史上最先发现“椭圆上的点到两个定点的距离之和为定值这一性质的数学家是阿波罗尼奥斯，但是他的几何证

8、明过程非常复杂.所以这里选取“旦德林双球模型来抽象出椭圆的这一性质.由于“旦德林双球模型结构复杂、位置关系、数量关系较多，所以在研究性学习学案中让学生学习立几画板制作旦德林双球模型，更形象直观的感知“旦德林双球”的结构特点.并通过研究性学习学案中一层一层递进问题的设计，让学生证明该性质.得到性质后，再通过引导学生画椭圆来完善性质的逆命题得到椭圆定义对于椭圆的画法，历史上荷兰数学家舒腾为我们提供了三种画椭圆的方式，一种就是教材中提供的拉绳子直接画的方式，另外两种就是利用椭圆规来画.其中用绳子直接画椭圆，利用的是“椭圆上的点到两定点的距离之和为定值这一性质，所以我们引导学生在课上用这种方法亲自画椭

9、圆.推椭圆方程之道（比、简）：对椭圆方程的推导是本节课的一大难点.之前学生已经系统学习了如何求曲线方程，对于“建系、设点、限制条件、坐标化这几个步骤学生不会感到困难，如何建系可通过研究性学习学案引导学生类比圆的标准方程建系过程.定值、两个定点距离都由教师直接给出即可.真正难点在于“方程的化简，由于这个方程有很多化简方法（如：二次平方法、洛必达的和差术、赖特的平方差法、有理化法等）.为简化运算过程，教师在课前给了学生足够的时间研究化简方法，除了考虑用二次平方法外，教师尽量引导学生采用洛必达的和差术和赖特的平方差法来化简.在这个过程中，提升学生数学运算等核心素养.对于完备性的证明，要通过化简方程时

10、等价变形来说明，对此教材中没有明确要求，教师提示一下即可，可由学生课后继续研究.究椭圆生成之变（整、联）：引导学生整合教材中的例题与练习题给出的椭圆除定义外的其它几种具体的生成方式，主要与圆的伸缩变换、第二定义、第三定义有关.由于教材没有直接给出一般意义下的第二、第三定义，所以这里不做过多引申.只给出两种定义的具体表现形式，即焦点在X轴上，中心在原点的椭圆时的情形.此外，通过某些重要的方程建立三种定义间的联系，进一步深化数形结合的思想.由于推导方程过程中没有进行完备性证明，所以这里只研究由第一定义得到第二、第三定义的某种具体形式.赏椭圆曲线之用（查、用）：教材中椭圆曲线的应用主要体现在两个方面

11、，一方面通过P46例5电影放映机的例题以及课后【阅读与思考】让学生了解椭圆的光学（声学）性质；另一方面就是通过方程研究椭圆的性质，专门的几何性质放在下节课研究.在这里我们立足数学史，给出一个历史传说，引导学生查阅椭圆的声学性质.并改编了传说，利用方程研究实际问题，渗透用方程研究椭圆性质的坐标法思想，为下一节课专门研究椭圆的几何性质做铺垫.5.教学基本流程探椭圆历史之旅研椭圆定义之理推椭圆方程之道窕椭圆生成之变赏椭圆曲线之用二、教学过程展示研究性学习学案见附页学生分小组展示学习成果环节一探椭圆历史之旅学生活动一：数学兴趣小组依据学案问题提示演绎有关椭圆起源的历史短剧剧中三个阶段1.梅内克缪斯从古

12、代计时沙漏中发现椭圆曲线（这一阶段没有明确的文献说明，但是公认的是从生活中实物发现的）并提出“用平面截三种不同的圆锥得到三种圆锥曲线.”2.阿波罗尼奥斯提出“用平面截同一个圆锥得到三种圆锥曲线”，并用纯几何方法证明了一条非常重要的性质：椭圆上的点到两个定点的距离之和为定值.但证明过程非常复杂.3.旦德林构造双球模型，巧妙证明椭圆上的点到两个定点的距离之和为定值.【评析1】通过短剧使学生了解椭圆的起源与发展，体验圆锥曲线文化的发展历程，感受古代数学家的理性与智慧.同时由学生亲自演绎短剧，激发学生的学习兴趣.在了解平面截圆锥形成圆锥曲线以及分析旦德林双球结构的过程中，有助于发展学生直观想象等核心素

13、养.环节二研椭圆定义之理1 .学生活动二：借助“旦德林双球”模型证明椭圆上的点满足的重要性质（1）通过立几画板观察椭圆上的点A运动时，AEIAF1为定值（如图1）.（2）依据研究性学习学案的问题串提示证明IAE1IAF1为定值.证明：A3,AF为同一个球的两条切线，所以IAB1AF,同理IAC1IAE1所以IAEIIAF1ACABBC又两个球与圆锥侧面的公共点形成的曲线是两个圆，且这两个圆所在平面是平行的，这两个平面与圆锥的底面也是平行的，所以这两个平面与圆锥围成的封闭几何体是圆台，又BC是圆台的母线，所以IAE1AFIBC1为定值.（3）通过立几画板将平面抽取出来,在平面内观察点A运动时,1

14、4E1IAF1为定值（如图2）（图1）（图2）教师指出：依据旦德林双球结构，发现两个定点反尸与椭圆在同一平面内，从而将最初的借助于圆锥这一空间几何体研究椭圆转化为直接在平面内研究椭圆.这是人们对椭圆研究的一个巨大进步.【评析2】课前让学生学习立几画板的使用，增强了学生运用信息化手段研究数学问题的意识.立几画板中展示的“旦德林双球”模型十分直观，有助于学生对这一立体图形更好的理解.同时，通过（计算机）先计算点A运动时，AEA产的值，根据结果猜测为定值，再进行严格的数学证明，渗透了科学研究的一般方法.学生的逻辑推理、数学运算等核心素养也得到了发展.学生证明性质后，教师要点明用旦德林双球模型证明这一

15、性质的重大意义.也为后面学生用绳子画椭圆做铺垫.2 .学生活动三：用绳子画椭圆，完善性质的逆命题，建构椭圆定义.（1）学生布置试验：取一条长度为25c机的定长的细绳，将它的两端拉开一段距离，分别用钉子固定在图板的两点处（如图3）,两钉子间的距离为20cz,套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，看看画出的轨迹是什么曲线？若将两钉子间的距离调整到25cm,再看看画出的轨迹是什么曲线？若将两钉子间的距离调整到30C机呢？（图3）（2）发现：常数等于两定点距离时，轨迹为线段：常数小于两定点距离时，轨迹不存在（3）新知：我们把平面内与两个定点n,B的距离的和等于常数（大于IQ12I）的点的轨迹叫做椭圆（e11i

16、pse）.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.【评析3】数学中的定义都具有充分必要性。通过学生亲自动手画椭圆，使学生找到椭圆概念的充分必要条件。有助于培养学生严谨的科学精神，进一步提升学生的直观想象、数学抽象等核心素养.3 .教师简单介绍历史上画椭圆的方法刚才我们用绳子画出了椭圆，但画的过程中，不好掌握方向，所以误差较大.事实上，历史上荷兰数学家舒腾为我们提供了三种画椭圆的方法（如图4）,有兴趣的学生课后了解【评析5应用椭圆定义探究由教材上P49第7题改编的折纸试验.环节三推椭圆方程之道1.回顾（1）我们是用什么方法来研究直线与圆两部分内容的？学生：坐标法（创始人：笛卡尔、费马）教师：坐标法研