求过圆x2+y2=100外一点p16,3的圆割线中点轨迹方程.docx

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1、求过圆y2=100外一点P(16.3)的圆割线中点轨迹方程主要内容：由圆xyJ1OO外一点P(16,3)引圆的割线交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。方法一:直接求法根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，并根据在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，从而求出轨迹方程。解：设弦AB的中点M的坐标为M(x,y),连接OP,OM,则OM1AB,在()MP中，由两点间的距离公式和勾股定理有0P2=PM2+0M2,即：(16-0)2+(3-0)2=(-16)2+(y-3)2+(-0)2+(y-0)2162+32=x2-32x+162y2-6y+32+x2

2、+y2,0=x2-32xy26y+x2+y2,故：2+y2-16-3y=0,其中：ToWX10.为所求圆割线中点的轨迹方程。方法二：轨迹性质定义法根据题设条件，判断并确定轨迹的曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。解：因为M(x,y)是AB的中点，所以OM_1AB,则点M的轨迹是以OP为直径的圆，圆心为(J*16,93),半径r=Iop1,该圆的方程为：(x1*16)2+(y-*3)24(16-0)2+(3-0)1,化简，得：乙1jJ1x2-16x+-*162+y2-3y+*32-*162+-*32,即所求圆割线中点的轨迹方程为：2+y2-16x-3y=0,其中：-10x10.方法三：交点轨迹

3、求法将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点M可看作直线OM与割线PM的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。解：设过P点的割线的斜率为k,则过P点的割线方程为:y-3-k(-16),OM1AB且过原点，/.OM的方程为y=-*x,即：ky=-。K这两条直线的交点就是M点的轨迹。V3由割线方程得：k=,代入OM方程得：-16-r*y-x,化简得：X-Ioy(y-3)-(-16)y2-3y=-2+16x,即所求轨迹方程为：x2+y2-16-3y=0,:-10x10.方法四：参数求轨迹法将动点坐标表示成某一中间变量即参数的函数，再设法消去参数。由于动点M(xi,yJ随直线的斜率变化而发生变

4、化,所以动点M的坐标是直线斜率的函数。解：设过P点的割线方程为：y-3=k(x-16),它与圆2+y2=R2的两个交点为A、B,AB的中点为M.解方程组:y-3-k(-16),x2+y2=100,消去y得：2+(k-16k+3)2=100,即：(1+k2)x2-2k(16k-3)x+(3-16k)2-100=0,设方程的两个根为x,x2,即A(x,y),B(2,y2),则:2k(16k-3)4k(16k-3)zxxX2=痴F,对M有：Xi=值?(1),又y*(y+y2)=*k(-16)+3+k(x2-16)+3),1/zzz*k(x+x2)-16k+3乙k2(16k-3)C3-16k小、6k+

5、3=wV.所以：由和(2)得：J,Yi将代入得:yj1+卢)2=3+16心化简得:YiYiyi(yi2+Xi2)=3yi2+16iyiy+;3y+16xi,即所求的轨迹方程为:x2+y2-16x-3y=0,:-10x10.方法五：代点求轨迹法根据曲线和方程的对应关系：点在曲线上则点的坐标满足方程。这里由于中点M的坐标(x,y)与两交点A(x1,yJ,B(X2,y2)通过中点公式联系起来,又点P、M、A、B构成4点共线，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。解：设M(x,y),A(x,y),B(2,y2),则：x+x2=2x,y+y2=2y,Vx12+y12=100,x22+y22=100,两式减得：(2-)(x2+x1)+(y2-y)(y1+y2)=O,即:y2-yX2X1X.=-7-zz-;即为AB的斜率，X2xy2y1y3v而AB对斜率又可表示为寻,即：16-著=心，化简得：16-yy(3-y)+x(16-)=0,即所求轨迹方程为:x2+y2-16-3y=0,:-10x10.