第2部分 专题6 第3讲 导数与函数的单调性极值最值 2.docx

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1、导数与函数的单调性、极值、最值考点1导数的运算及其几何意义龄高考串讲找规律1. (2023新高考卷I)若过点3,3可以作曲线y=ev的两条切线，则)SB.eabD.OVbVeaA.ehO,则切线方程为y-h=e0(xxoyo-b=e(xo-a)刈Xo得e(1xo+a)=。，则由题意知关于Xo的方程eXOyo=e(1xo+)=Z?有两个不同的解.设yCr)=ex(1x+o),则/(x)=e(1x+a)ex=-ex(-a)t由/(X)=O得x=,所以当XVa时，/()0,大的单调递增，当xa时，f(x)V0,7U)单调递减，所以於)ma=/3)=(1-a+。)=。，当x0t所以y(x)O,当Xf-

2、8时，大幻-0,当Xf+8时，y()OO,函数兀)=ex(1x+o)的大致图象如图所示，因为/U)的图象与直线y=b有两个交点，所以OVbVea.故选D.法二(用图估算法)：过点(,与可以作曲线y=eA的两条切线，则点(,/?)在曲线y=e的下方且在X轴的上方，得OVbVe.故选D.2f-I2. (2023全国卷甲)曲线)=；石在点(一1,一3)处的切线方程为.2-1Y2(x+2)-(2-1)5z,5y=5x+2y=7+rj=所以外1=(-1+2)2=5,所以切线方程为y+3=5(x+1),即)，=5x+2.3. (2023新高考卷H)已知函数兀0=修一1|,x10,函数兀。的图象在点A(XI

3、,u)和点8(X2,yte)处的两条切线互相垂直，且分别与y轴交于M,N两点，则瑞的取值范围是.(0,1)当XVo时，x)=1-er,()=-ev,/U)在A(XI,1e*)处的切线斜率为心=-e,当x0时，y(x)=ev-1,ff(x)=exf加:)在(x2,e*-1)处的切线斜率为foX2=e,由/(x)图象在A,B两点处的切线互相垂直=女浅2=-e+?=1,.x+x2=0,xV0,x20,.IAM1+e加(-x)1+e可=、/1+eX21+e=(0,1),故犒的取值范围是(0,1).eHk解读,命题规律：以基本初等函数为载体，考查曲线切线方程的求法，多以选择题、填空题形式考查，注意方程思

4、想的应用.通性通法：导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线“在“某点的切线与曲线“过”某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.考题变迁提素养1 .以新定义为载体若函数y=(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=U)具有了性质.下列函数中具有丁性质的是()A.y=sinxB.y=1nxC.y=exD.y=x3A对函数y=sinx求导，得y=cosx,当X=O时，该点处切线外的斜率k=1,当X=时，该点处切线/2的斜率的=1,所以h依=1,所以/i_1，2；对函数y=1nx求导，得y=:恒大于0,斜率之积不可能为一1;对

5、函数y=e求导，得y=ev恒大于0,斜率之积不可能为-1;对函数y=x3求导，得y=3f恒大于等于0,斜率之积不可能为一12.与物理学科交汇（2023徐州模拟）随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间，（单位：天）满足函数关系P（f）=23,其中PO为f=0时该放射性同位素的含量.已知f=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为一对需2,则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为（）A.20天B.30天C.45天D.60天D由P（f）=P023得P，。）=一方/230In2,因为

6、r=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为一乳需2,即P（15）=一程，PO=一，（；2,解得Po=I8,则P（Z）=I8230,当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即P（f）=4.5,所以182=4.5,即2JU=不所以一元=一2,解得f=60.故选D.3.公切线问题若直线y=H+b是曲线y=1nx+2的切线，也是曲线y=e的切线，则b=.0或1设直线y=H+Z?与y=1nx+2的切点为（即，y）,与y=e，的切点为（X2,yi）t由y=1nx+2的导数为y=：,y=e”的导数为y=ev,X2,C消去X2,1e1nx2X1X2-X可得(1+1nx)(1-()=0,则X1=1或1,则切点为(：，

7、1)或(1,2),A=e或1,则切线为y=ex或y=x+1,可得b=0或1.考点2利用导数研究函数的单调性C高考串讲找规律1. (2023.新高考卷节选)已知函数/U)=(-1)eA-OX2+。讨论函数/U)的单调性.解fz()=ex2ax=x(ev2a),当d0时，令/(x)=03=0;且当XVO时，f,(x)0时，,(x)0,/)递增；当OVaVT时，令尸(X)=O0X1=O,2=1n20,KX)递增，当In2ax0时，,(x)0时,(x)0,/)递增;当=g时，Jra)=MeK1)20,Kr)在R上递增；当4*时，令(X)=O=0,X2=12a0f且当XVO时，f,(x)Qt-X)递增;

8、当OVXVIn2时，尸(x)V0,五刈递减，当x1n20时，f,(x)Of大幻递增.2. (2018全国卷I节选)已知函数r)=T-x+1nx.讨论力0的单调性.解加)的定义域为(O,+),且,(X)=一5_+：=1.(i)2,则/(X)0,当且仅当4=2,X=I时/(x)=0,所以CX)在(0,+8)单调递减.(ii)a2,令小)=0,得片心尹或广呼(o,+8)时，/,(X)VO;当(W,/a)o.所以於)在(,TH),(呼三，+oo单调递减，在尸用三，阴哗三)单调递增.IH号解读命题规律：以含参数的函数解析式为载体，融不等式的解法、分类讨论思想、函数、方程、不等式的关系于一体，考查学生对知

9、识的灵活应用能力，有一定的难度.通性通法：利用导数研究函数单调性的一般步骤(1)确定函数的定义域.(2)求导函数尸(x).(3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式尸(x)0或广(x)V0即可；若已知函数的单调性，则转化为不等式尸与。或,o在单调区间上恒成立问题来求解.讨论含参数的单调性常见的四个方面.二次项系数的讨论.根的存在性讨论，讨论.根大小讨论.根在不在定义域内讨论.提醒：若可导函数Kr)在区间。上单调递增，则有广(x)20在区间。上恒成立，但反过来不一定成立.C考题变迁提素养1.导数与数的大小比较定义在R上的函数危)满足Ua)於)恒成立，若X X2xeJ

10、(x)X1X2B. e/(x2)O,所以g(x)单调递增，当X1VX2时，g(xi)Vg(X2),RQ普丹3所以e%X2)J2/(X1).ee2.导数与解不等式已知偶函数儿e)(xW0)的导函数为/U),且满足/U)=O.当x0时，xf,(x)0成立的X的取值范围是()A. (-8,-1)U(O,1)B. (8,-1)U(1,+)C. (-1,0)U(0,1)D. (-1,O)U(1,+)C令g(x)=,.,/、x2(x)2必力矿(X)一如;)g(X)=f=2，又g(D=O,当0时，,(x)0,於)0等价于g(x)0,x0IXV0,所以或g(DIga)g(-D,所以OVXV1或一IVXV0,故

11、选C.3.已知单调性求参数的范围已知R,函数yU)=(-f+x)eXrR,e为自然对数的底数).(1)当=2时，求函数段)的单调递增区间；(2)若函数yu)在(一1)上单调递增，求。的取值范围.解当a=2时，7U)=(-f+2x)ex,所以广(X)=(2x+2)e(a2+2x)ev=(x22)ex.令广(X)0,即(一f+2)ex0,因为ev0,所以一x2+20,解得一啦VXV所以函数/U)的单调递增区间是(一啦，2).(2)因为函数yu)在(一1/)上单调递增，所以/(X)20对X(-1,1)都成立.因为尸(JO=(2x+)ev+(-2+4x)ex=-f+(。-2)x+ev,所以x2+(a-

12、2)x+oev与0对X(1,1)都成立.因为e0,所以一f+m-2)x+N0,，+2(JC+)2-1法一：(分离参数法)即4F7=i_=。+1)F对x(1,1)都I1AI14I1成立.令g)=+1)-WP则ga)=1+.1)2o所以g(x)=(x+1)r在(一11)上单调递增.1 3所以g(x)Vg(1)=(1+1)-Ry=1所以。的取值范围是|,+g).法二：(数形结合法)即x2-(a-2)-a0在(-1,1)上恒成立.令(X)=Jt2-(42)-4,则3-2(一1)=1+(-2)-0b则()A.abC.aba2D(分类与整合法)因为函数U)=(x4)2(xb),所以/,(x)=2a(x-a)(xA)+(-)2=。一)(3-。-2A).令f(x)=0,结合aO可得x=a或JV=4+2Z?3.（1）当4O时，IOI若巴?一。，即baf此时易知函数人工）在（一8,）上单调递增，在at上单调递减,所以X=。为函数7U）的极大值点，满足题意;aI2b若巴m=，即方=。，此时函数yU）=（-op在R上单调递增，无极值点，不满足题意；若WVd即hV,此时易知函数T（X）在传丝，上单调递减，在（d+8）上单调递增，所以=为函数大幻的极小值点，不满足题意.当V0时，若色g-at即ba,此时易知函数人工）在（一8,）上单调递减，在af里产）上单调递增，所以