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1、专题7指数函数与对数函数题型一指数运算1有理数指数鬲的分类正整数指数幕ar=aaaa(nN*);零指数幕屋=1(0);负整数指数幕1二*(0,nN*);(4)0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数事没有意义.2.有理数指数幕的性质(1)amn=m+n(O,n,nQ);gm)n=amn(q0,1,Q)；(3)(ab)rn=ambm(0,O,nQ);(4)VH沆=an(aG,m,nEQ).3 .根式的定义：一般地,如果”=,那么X叫做Q的几次方根,其中(九1,九N)砺叫做根式,九叫做根指数,Q叫被开方数.4 .对于根式记号要注意以下几点：(1)nN,且n1;当九是奇数,则Vsir=;当几是偶数,则
2、VH77=a=aa；负数没有偶次方根；零的任何次方根都是零.指数的运算和逆运算,遇到多重根号问题,需要先写成指数形式:尾广）（1）T=（I严4例题精选【例1】化简米（其中Qo,8）的结果是（）C1681b4*BV【例2】下列根式,分数指数哄的互化中,正确的是（）【例4】已知+QT=3,下列各式中正确的个数是()(1)2+a-=7；(2)q3+a-3=18；(3)最+4=5;(4)+磊=25.A.1B.2C.3D.4题型二对数运算对数的定义:一般地,如果M=Ng0,且Q1）,那么数X叫做以Q为底N的对数,记作X=IogaM读作以为底N的对数,其中Q叫做对数的底数,N叫做真数.一、对数运算法则:外
3、和内乘原理：Ioga(MN)=IOgaM+1g0N;(2)外差内除原理：1og。*=IOgaM-IOgQN;提公次方法：1Ogabn=A1OgabS,nR);特殊对数：1Oga1=0；指中有对,没心没肺:g2b=b和IogaQb=b:Iog381=1og334=4,2,025=5.二、换底公式和对数运算的一些方法：常用换底：1ogab=产如:10gs7=宵=黑=啜.u1ogc00Iog251g51n5倒数原理：Iogab=氤如：啕2=去.约分法则：IogQb1ogftc=1ogc如:Iog231og34=1og24=2;1og3151ogs71og1551og73=1.(4)归一法则:1g2+
4、1g5=1=1g21g5+Ig22+1g5=Ig2(1g5+1g2)+1g5=1g5+1g2=1.【例5】设Q1Og=2,则4-。=（）abIciD.-6例6(2023天津)化简(21og43+1og83)(1og32+1ogg2)的值为()A.1B.2C.4D.6【例7】（2023浙江）已知2。=5Jog83=二仇则4所3匕=（）A.25B.5C.空9D.-3例8（2023.天津）若2。=5匕=10,则十+()A.-1B.Ig1C.1D.Iog710【例9】已知b0Jog5=a,Igb=c,5d=10,则下列等式一定成立的是（）A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c【例10】求好
5、5+1g21g25+嗟2的值.【例11】已知1og23=,1og37=1请用,b的式子表示1og4256.【例12】计算：31+ig35_24+1g33+10313+2-g3S.【例13】（2023甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据1和小数记录法的数据P满足1=5+IgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为（）（VIU1.259）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6【例14已知b1,若IOgab+1ogba=tab=ba,则=,b=试题精选1. 下列式子成立的是0A
6、.a-a=y-a3B.aJ-a=-y-a3C.aJa=D.ay-a=-2. （2023河西期末）化简北一察J（其中Q0/0）的结果是（）A网B-C-D!.3b.3b863,Sb4a43. （2023-岳阳月考）设R且0,若+X-1=3,猜想+x-2nAT）的个位数字是（）A.2B.5C.6D.74. (2023成都月考)值标的值为O1275A.B.疝C.D.25. (2023河南月考)(35)2.(-卷+(0.002)4-1(5-2)1(3-2)=()A.-39-205B.OC.1D.-396. （2023湖州期末）式子（2/b2）（-6-信）（-3/点）的值等于（）A. 4aB. -Aa2C
7、. Ca病D. -4a217. 计算:10g2=2kg23+iog43=8. IgO.O1+1og216Mtt.9. 若Q=1og43,则2。+2-=10设N=市+怠，则A. N=ZB. N=-2C.N2I1设Q=急+急+氤+康，V=x-a,xeN,当y取最小值时的工的值为0A.2B.4C.4D.512. （1）1og32=3贝IJ1Og43=.化简计算：1og2表Iog3jIog513. 1ogistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/（t）（t的单位:天）的1ogistic模型:/Q）=黑_5”，其中K为最大确诊病例数.当
8、/（）=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则约为（）（1n193）14. 基本再生数RO与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:/()=e描述累计感染病例数/Q)随时间”单位:天)的变化规律,指数增长率r与Ro,T近似满足RO=1+rT.有学者基于已有数据估计出RO=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为()(1n20.69)A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天15. Ig+21g2-()-1=16. 方程1og2(
9、-5)=1og2(3x1-2)+2的解为题型三指数函数的图象及其性质y=图象JI，o性质定义域凡值域(0,+8)O0=】，即x=0时，y=1,图象都经过(01)点*=.RPX=I时，等于底数在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数XVO时，01hx0时，OVdV1XVO时，OVdV1：QO时，I既不是奇函数，也不是偶函数当底数大小不定时,必须分u,和“0VV,两种情形讨论.当01时不-,y0.当Q1时,Q的值越大,图象越靠近y轴,递增速度越快.当OVQV1时,Q的值越小,图象越靠近y轴,递减的速度越快.指数函数y=与y=Gy的图象关于y轴对称.函数(1)y=ax,(2)y=b七(3)y=c
10、x；(4)y=#的图象如下图左所示,则Oba1dc,即(0,+oo)时,bxaxdxaxdxcx.特殊函数:函数y=2x,y=3y=Q)y=Gy的图象如上图右所示.指数式大小比较方法单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较.中间量法:当指数式的底数和指数各不相同时,需要借助中间量“0”和“1”作比较.分类讨论法:指数式的底数不定时,需要分类讨论底数的情况,在利用指数函数的单调性进行比较.(4)比较法:有作差比较与作商比较两种,其原理分别为：(1)若A-B0AB;A-B0AB;A-B=0A=B.(2)当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断慨1或M1即可.【例15如图的曲线C
11、i、C2.C3、C4是指数函数y=”的图象,而。6，8,兀,则图象。1、Q、对应的函数的底数依次是【例16】比较下列两个值的大小：,_31_13_1(1)(,5和42(2)乃-2和314-2(3)(1)211(1)2【例17已知=1og20.2,b=202,c=0.2o3,则()A.abcB.acbC.cabD.bca【例18】(2015山山东)设Q=O6o6,b=0.615,c=1.506,则Q,b,c的大小关系是()A.abcB.acbC.bacD.bc0且Q1)叫做对数函数,它是指数函数y=ax(a0且Q1)的反函数.图象:由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指
12、数函数图象作关于y=X的对称图形,即可获得.同样也分Q1与OVaV1两种情况归纳：以y=1og2%与y=Iogp:为例2底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内,当Q1时,随Q的增大,对数函数的图象愈靠近X轴;当0VQ0且Q1).【例21（2023天津）已知Q=20-7,b=G）c=Iog2p则（）A.acbB.bcaC.abcD.cab【例22（2023新高考II）已知Q=1og52,b=1og83,c=,则下列判断正确的是（）A.cbaB.bacC.acbD.abc例23（2023天津）设Q=1og20.3,=1ogi0.4,c=O.4o3,则三者大小关系为02A.abcB.cabC.bcaD.ac2bB.ab2D.ab2【例25（2019天津）已知=1og52,b=1og0.50.2,c=O.5o2,则,b,c的大小关系为0A.acbB.abcC.bcaD.cab【例26设X2,8,函数/(x)=；Ioga(QX)Ioga(Mx)的最大值是1,最小值是一求Q的值.ZO题型五指数与对数比大小问题指数和对数的比大小问题成为了高考和模拟题的一些拉档题,这里我们重点介绍几种比大小方法,让一些指数对数不同底数,不同真数,不同辱的函数进行大小比较.1 .对数等比定理1ogax=IOgby=Iogam匕nz=xmyn=z（特别的当m=n=1时，1OgaX=Iogby=IogabZO
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