专题六 第4讲 母题突破4 探索性问题 2.docx

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1、母题突破4探索性问题【母题】(2023抚顺模拟)已知椭圆C设斜率为4的直线交X轴于T,交椭圆。于4,B两点,是否存在攵使得HTI2+BT2为定值，若存在，求出女的值？若不存在，请说明理由.思路分析设直线AB的方程，并联立椭圆C的方程I求IATI2,872I计算HT12+872I整理分析，下结论解假设存在我,则W0,设AaI,%),8(X2,”)，设直线AB的方程为x=my+%代入3x2+4y2=12得(3产+4)t2+6mny+3n212=0,6mn3n212则)+”=薪针罚?36m2n24(3/?212)(3n24)=48(3n24-n2)0,所以由弦长公式得IAT12=(而+1而B2=(M

2、2+1)y3,所以A72+城砰=(/+1)3+货)=(m2+1)(y2)2-2y.1(一6吟、3n22=(加+4才H-2年TR=6禽招1(362-4)/+4(3加2+4),要使IAT12+|附2为定值，则3w2-4=0,m=qi公8=二兴子题1已知椭圆C：jy2=1的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为4,A2.椭圆C上是否存在点P(异于点4,A2),使得直线雨%2与直线4=4分别交于点E,Ft且IEF1=1?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解假设存在满足题意的点P不妨设P(Xo,o)(,oO),则一2x0=F=I，得xo=4一比，由44=4,得5-8to+12=0,/=

3、-1760,设A,y),4手，)，则巾+2=46，)，出=一16加-32,点N总在以弦AB为直径的圆上，NANB=90。，=O,又协=(卜?y-yo),祐=仁一岸,2_yo),当y=jo或”=泗,等式成立，当y)b且,V2jo有(,3)(,2,o)=16,*y3j2jo(y)+r+16=0,则4vo-16?-16=0,即4m(yo4)+Go4)(yo+4)=O,当然=4时，无论m取何值等式都成立,将和=4代入y2=4x,得的=4,.N(4,4),综上所述，存在点N(4,4),使得以弦AB为直径的圆恒过点N.规律方法探索性问题的求解策略(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得

4、规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律.(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论.Ei跟踪演练1. (2023扬州模拟)已知椭圆C：W+g=1(M0)的左、右焦点分别为尸”F2,M为椭圆上一点，线段MF1与圆2+j2=1相切于该线段的中点M且的面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆。上是否存在三个点4,B,P,使得直线AB过椭圆C的左焦点尸I,且四边形OAPB是平行四边形？若存在，求出直线AB的方程：若不存在，请说明理由.解(1)连接OM图略)，由IaN1=IM

5、N|，且IoFII=IoF2,/.ON为AMFIF2的中位线，tMF2=2ON=2且MF1MF2,，根据椭圆的定义可得，Fi=2-2,SdMRFi=5(勿-2)*2=2,解得=2,MF1=MF2=2f(2c)2=22+22,解得c=5,=2-c2=2,.椭圆C的方程为?+芸=1.(2)设直线AB的方程为x=/wy啦，Aa1,y),Bg券)，Pa3,券),x=my-y2f_1可得G2+2)j2-26zwy2=0,.2+2=4,X3=Xi+x2=myi2+my2y2=m(yy2)-2222./-4222m*2+2,n2+2/由P在椭圆上，代入可得厂登6+泻察=4,解得m=5,(mi+2)z(n+2

6、)，V存在直线AB：x=5y-符合题意.2. (2023全国甲卷)抛物线。的顶点为坐标原点0,焦点在X轴上，直线/：X=I交。于P,Q两点,且。匕1oQ已知点M(2,0),且。M与/相切.求C,。”的方程；(2)设4,A2,4是C上的三个点，直线4A2,44均与OM相切.判断直线A2A3与。M的位置关系，并说明理由.解(1)由题意知，直线x=1与C交于P,Q两点，且OP_1OQ,设C的焦点为尸，尸在第一象限，则根据抛物线的对称性，NPoQ=NQO/=45。，所以P(i,i),e(i,-1).设。的方程为y2=2px(p0),则1=2p,得P=；,所以C的方程为y2=x.因为圆心M(2,0)到/

7、的距离即。M的半径，且距离为1,所以。M的方程为(-2)2+y2=.(2)直线A2A3与。M相切，理由如下：设AIa1,j),A2(2,y2),A3(3,y3)t当Ai,A2,A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，满足条件，此时直线当X1WX2X3时，直线A1A2：X-(y+,2)j+yj2=0,则、(:工；=1,即。彳1)免+2)仍+3一4=0,同理可得(4一1)京+21”+3乂=0,所以工，”是方程1)y2+2yy+3%=O的两个根,则+”=言，次3=沿直线A2A3的方程为x(y2y3)yy2j3=O,所以直线A2A3与。M相切.综上可得，直线A2A3与。M相切.专题强化练1

8、 .已知椭圆C7+=1（曲0）,焦距为2,F1为椭圆的左焦点，若椭圆上的点到乱的距离的最大值是最小值的3倍.（1）求椭圆C的方程；（2）不平行于坐标轴的直线/过右焦点仍与椭圆C相交于A，8两点，在），轴上是否存在点O,使得AABO为正三角形，若存在，求出点。的坐标，若不存在，请说明理由.解（1）依题意知2c=2,.c=1,又+c=3（-c）,：a=2,*b1=a2-c2=3,故椭圆C的方程为f+q=1.得(3+42)x28Zrx42(2)设直线/：y=(-1),Aay),Ba2,J2),联立VJ=A(11),-12=0,.,8/412.X+x2-3+42,W23+42，8F6k，力+以=&(沏

9、1)+A(X2-1)=4xi+x2)-2女荷记-2&=一乔设AB的中点为M,则从熹,_尚），假设存在点。，则历。的直线方程为3kIf_4R、j+3+4-Ra3+4出*舟），AB=1+i-X2=当加=51岛T泻若aABO为等边三角形，则IMQ1=雪A8,即233+27=0,方程无实数解,312(1+2)42+12.3+4R=3+4F.不存在这样的点D2 .已知动圆C过点A(-2,0),且与圆M：(-2)2+j2=64相内切.(1)求动圆C的圆心的轨迹方程；22(2)设直线/.y=H+M其中A,mZ)与(1)所求轨迹交于不同两点B,Df与双曲线方一方=1交于不同两点E,R问是否存在直线/,使得向量

10、琲+茹=0,若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由解(D圆M：。-2)2+/2=64,圆心M的坐标为(2,0),半径R=8.VAM=4AM.圆心C的轨迹是中心在原点，以A,M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为/+方=1(ZO),则4=4,c=2.*.b1=a1-c=2.所求动圆。的圆心的轨迹方程为得+i=1y=k-rmi由(X2y2消去)，化简整理得(3+4/)/+86叶4加-48=0.+-=116十121,设Bajo,Oa2,”)，则Xi+12=-37%Ji=(8h%)24(3+422)(4小2-48)0.(y=k-m,_消去y化简整理得(3一炉)/一2妨比一切212=0.m=z2km设E(X3,”)，尸(X4,%),则X3+X4=mp,/2=(-2h)2+4(3-2)(m2+12)0.VDF+BE=Ot(X4-X2)(X3-x)=0,即X1+x2=x3+x4,Skm2km.Cq41小小.-C屈F=/2h二或一讦而=力解侍A=O或加=0.当左=0时，由得一25m25,VwZ,.用的值为-3,-2,-1,0,1,2,3；当机=0,由得一、&、，VZ,二一1,0,1.，满足条件的直线共有9条.