专题一 第5讲 函数的极值最值 3.docx

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1、第5讲函数的极值、最值考情分析利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多在选择题、填空题靠后的位置考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题.考点一利用导数研究函数的极值【核心提炼】判断函数的极值点，主要有两点(1)导函数(X)的变号零点，即为函数贝幻的极值点.(2)利用函数/(X)的单调性可得函数的极值点.例1已知函数yU)=01nx+=v2-(+I)X+1.(1)当。=0时，求曲线y=()在点(2,火2)处的切线方程；(2)若函数KV)在x=1处取得极小值，求实数。的取值范围.解(1)当。=0时，兀0=521+1.所以/()=x-1,所以&=F(2)=1,因为42)=：X2

2、22+1=1,所以切线方程为y=-1(2)函数段)的定义域为(O,+).因为v)=Hnx+声-(1)x1,统7/a1.x2(+1)x+所以/(x)=j+-1=令/(X)=0，即(+1)x+=0,解得x=1或x=a当W0时，当X变化时，/(%),应0的变化情况如表所示：X(0,1)1(1,+)f(X)一0+极小值Z所以当x=1时，式幻取得极小值.所以0成立.当01时，当X变化时，f(X),/(x)的变化情况如表所示.X(0,a)a3D1(1,+)f(X)+00+Z极大值极小值Z所以当X=I时，Kr)取得极小值.所以(X41成立.当=1时，/(x)20在(0,+8)上恒成立，所以函数Ar)在(0,

3、+8)上单调递增，没有极小值，不成立.当时，当X变化时，/(幻，人冷的变化情况如表所示.X(0,1)1(14)a(m+)f(X)+O一O+/极大值极小值/所以当X=I时，Kr)取得极大值.所以A1不成立.综上所述，a.易错提醒(1)不能忽略函数的定义域.(2/(M)=O是可导函数火X)在X=Xo处取得极值的必要不充分条件，即/(4)的变号零点才是火X)的极值点，所以判断Kr)的极值点时，除了找/。)=0的实数根冲外，还需判断KX)在XO左侧和右侧的单调性.(3)函数的极小值不一定比极大值小.跟踪演练1(1)(2023全国乙卷)设0,若x=为函数人幻=。(不一。)2(X与的极大值点，则()A.a

4、bC.aba2答案D解析方法一(分类与整合法)因为函数7(x)=(-)，所以，(x)=2a(-a)(x-h)aI2ba(xa)2=a(x-a)(3xa2b).令/(X)=0,结合K0可得x=或X=巴一当aQ时，若弯Ma,即历此时易知函数TW在(-8,上单调递增，在Q,竺产)上单调递减，所以X=。为函数)的极大值点，满足题意；若生产=小即力=小此时函数r)=(-)3在R上单调递增，无极值点，不满足题意;若即Xm此时易知函数Ar)在传，上单调递减，在(4,+8)上单调递增，所以x=为函数x)的极小值点，不满足题意.(2)当a,即b,此时易知函数兀O在(-8,0上单调递减，在Q,W灯上单调递增,所以

5、1=。为函数於)的极小值点，不满足题意；若幺十=,即b=m此时函数X)=(-)3在R上单调递减，无极值点，不满足题意;若产0且比。满足题意，标成立.方法二当=1,6=2时，函数y(x)=(x-1)2(x-2),画出该函数的图象如图1所示，可知X=I为函数Ar)的极大值点，满足题意.从而，根据=1,b=2可判断选项B,C错误；当a=-,b=2时，函数外)=(x+1)2(+2),画出该函数的图象如图2所示，可知x=一1为函数T(X)的极大值点，满足题意.从而，根据。=-1,6=-2可判断选项A错误.方法三当0时，根据题意画出函数加彳)的大致图象，如图3所示，观察可知历”当0;当x(2,+),g,(

6、x)e2,所以ay.考点二利用导数研究函数的最值【核心提炼】1 .求函数Kr)在,b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在3,力)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值扎7),fib).(3)将函数於)的各极值与加)，胆)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2 .若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值.例2(D函数Ar)=Or3-6av2+b在区间-1,2上的最大值为3,最小值为一29(0),则mb的值为()A.=2,Z?=-29B.=3,b=2C.a=2,b=3D.以上都不对答案C解析函数7(%)的导数/(x)=30r2-12

7、0r=3r(-4),因为A0,所以由/(x)0,计算得出0r0,计算得出x4或XVO,此时函数单调递增，即函数在上单调递增，在0,2上单调递减，即函数在X=O处取得极大值同时也是最大值，则0)=b=3,则yW=0r3-60r2+3,艮1)=7。+3,丸2)=-16+3,则人一1)次2),即函数的最小值为火2)=16+3=29,计算得出=2,b=3.(2)(2023新高考全国I)函数4)=|太一1|一21111的最小值为.答案1解析函数贝X)=I2x1|-2InX的定义域为(0,+).当QT时，)=2-1-21nx,所以F(x)=2-=2x1当Ta1时，/(x)0,所以/Wmin=/(1)=21

8、21n1=1;当O1ne=1.综上，/(x)min=1.易错提醒(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论.(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值.跟踪演练2(1)(2023.重庆联考)函数兀O=X+2COSX在0,兀上的最大值为()A.兀-2C.2D.3答案D解析由题意得，f(%)=12sin%,/.当OwSinx,即X在o,皆和愕，兀上时，f()o,yw单调递增；当gsinx1,即X在痣，裔上时，f(x)0，所以x)在(0,+8)上单调递增，又(I)=0,所以当O

9、aV1时，()O,即g(力0,即g。)0,所以当X=I时，g(x)取得最小值g(1)=1,所以4W1考点三导数的简单应用【核心提炼】构造函数解方程、不等式的解题策略观察题设，化简变形所给的条件，构造函数使化简变形后的代数式为所构造新函数的函数值,再利用新函数的单调性解方程或不等式.例3(1)(2023威海模拟)若关于X的方程InX-Or=/在(0,十8)上有两个不等的实数根,B.(一8,-1)D.(-1,+)则实数。的取值范围为()A.(8,1C.-1,+)答案B解析因为Inx-Or=X2,所以4设兀V)=乎一X,r-1InX1In-1则F=-1=设g(x)=1Mx2,o,则g(X)=一1-2

10、xO,即/(x)0;当x(1,+8)时，g()o,即/()2bB.a=2bC.ab2答案B解析设x)=(-1)2e-x,Qx1则f(x)=-1+er,设g(x)=-1e-r,则g,(x)=1ev=e.v,g,(x)O=xO=,(X)在(0,+8)上单调递增；g,(x)xa=2b.易错提醒(1)分离参数时，等式或不等式两边符号变化、以及除数能否等于0,易忽视.作图时，端点值的变化趋势易忽视.跟踪演练3(2023晋中模拟)若存在实数X,y满足InX-X+32e+e,则x+y等于()A.1B.OC.1D.e答案C解析令函数Kr)=InjVX+3,11Y可得/=71=-当x(o,D时，fo,y单调递增；当x(1,+8)时，(X)VO,式外单调递减，所以当x=1时，可得於)ma=/