105离散型随机变量的分布列均值与方差学案.docx

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1、第五节离散型随机变量的分布列、均值与方差【课标标准】1.了解离散型随机变量的概念.2.理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差).必备知识夯实双基知识梳理1 .离散型随机变量一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点M都有唯一的实数X(与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一列举的随机变量称为离散型随机变量.2 .离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为由，及，为”我们称X取每一个值H的概率P(X=H)=Pi,，=1,2,，为离散型随机变量X的概率分布列，简称分布列.离散型随机变量的分布列常用表格表示：XXiX2XnPPIP2Pn3 .离散型随机变量的

2、分布列的性质()pi0i=1,2,n.Q)PI+p2=.4 .离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为XXX2XnPPIPiPn均值称E(X)=为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.(2)方差称D(X)=(X1E(X)2p+sE(X)2p2+-E(X)2p=为随机变量X的方差，并称5为随机变量X的标准差，记为(X)(3)均值与方差的性质E(X+Z?)=.(。，为常数)。3X+b)=.(a,力为常数)常用结论均值方差的四个常用性质(DE(U=hD(Ic)=Ot其中攵为常数.(2)E(X+X2)=E(M)+E(Xi).(3)。(X)=E(X2)(E(X)2.(4)若

3、X，X2相互独立，则E(XIX2)=E(X)E(Xz).夯实双基1 .思考辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)(1)测量全校所有同学的身高，在170cm175cm之间的人数是离散型随机变量.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.()(3)离散型随机变量分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.()2 .(教材改编)已知X的分布列为X-1O1P121316设y=2x+3,则E（y）的值为（）A.NB.4C.-1D.133 .（教材改编）甲、乙两工人在一

4、天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X,Y,其分布列分别为XO123PYO12P若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是.4 .（易错）袋中有3个白球，5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（）A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到的球的个数XO12P-2q(5 .（易错）已知离散型随机变量X幽遨性则常数q=关键能力题型突破题型一离散型随机变量分布列的性质例1设随机变量X的分布列为P（X=3=成也=1,2,3,4,5）.求。的值；求P（X2g）;求PX）.题后师说离散型随机变量的分布列性质的应用用?利用“总概率之和为,可以求相关参数的取值范围或值

5、利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率可以根据性质判断所得分布列结果是否正确巩固训练1（1）下表是离散型随机变量X的概率分布,则常数1的值是（）X3456Pa2-a61216(2)随机变量X的概率分布列规律为P(X=m=品2,3,4),其中。为常数,则P(MX的值为()题型二求离散型随机变量的分布列例22023广东广州模拟某社区为增强居民的法治观念和法律意识，举行法律常识的知识竞赛，初赛共设四道题，规定：按题号顺序进行答题，答对第一题、第二题、第三题、第四题分别得1分、2分、3分、6分，每答错一题扣2分；每答完一题，分数进行累加.当得分低于

6、一2分时，停止答题，淘汰出局；当得分大于等于4分时，停止答题，进入下一轮.四题答完，当得分低于4分时，淘汰出局；当得分不低于4分时，进入下一轮.假设居民甲对第一、二、三、四题回答正确的概率依次为293且回答各题之间没有影响.4235(1)求居民甲能进入下一轮的概率；(2)用。表示居民甲初赛结束时答题的个数，求。的分布列.题后师说离散型随机变量分布列的求解步骤明取值卜明确随机变量的可能取值有哪些,且每一个取值所表示的意义求概率卜要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率后表格卜医玩范要求形式写出分布列利用分布列的性质检脸分布列是否正项巩固训练24月23日是“世界读书日”，学校开

7、展了一系列的读书教育活动.学校为了解高二学生课外阅读情况，从高二某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生中抽取12名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2个，用X表示抽得甲组学生的人数,求随机变量X的分布列.题型三离散型随机变量的均值与方差角度一均值与方差的计算例3(1)2023山东荷泽期末(多选)设离散型随机变量乂的分布列为：X01234Pq若离散型随机变量丫满足：y=2x+,则下列结论正确的有()A.E(X)=2B.E(Y)=4C.D(X)=

8、D.IY)=(2)某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X(单位：km)的可能取值是20,22,24,26,28,30,它们出现的概率依次是,，f,2t.求X的分布列，并求X的均值和方差；若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则按每超出Ikm(不足Ikm也按Ikm计程)收费3元计费.试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差.题后师说1 .求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.2 .注意E(X+b)=E(X)+6,以4X+b)=5)的应用.巩固训练3不透明袋中装

9、有质地，大小相同的4个红球，加个白球，若从中不放回地取出2个球,在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为W8(1)求白球的个数用；(2)若有放回的取出两个求，记取出的红球个数为X,求(X),D(X).角度二决策问题例42023河北保定期末某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个100元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个300元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数a的分布列为in567PX表示2台设备使用期间需更换的零件数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.(1)求X的分布

10、列；(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在=11和=12中，应选哪个？题后师说随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差决定.巩固训练4某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为,哈项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为?和2.针对以上两个投资项目，请你为

11、投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.1真题展台1 .2023全国甲卷甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得O分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.2. 2023北京卷在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到m以上(含m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：甲：，；：，；丙：，9.16.假设

12、用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)3. 2023新高考I卷某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,4两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得。分；8类问题中的每个问题回答正确得80分

13、，否则得0分，已知小明能正确回答4类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.第五节离散型随机变量的分布列、均值与方差必备知识夯实双基知识梳理3. (1)2(2)14. (1)XIPI+X2P2卜KnPn7=iPi(2)11(xi-F(X)2Pi(3)aE(X)+ba?D(X)夯实双基1 .答案：J(2)(3)(4)72 .解析：E(X)=-1-+O-IX-=-,236377E(K)=E(2X+3)=2E(X)+3=9+3=5

14、故选A.答案：A3 .解析：根据出现废品数分别是两个随机变量X、Y的分布列，得到甲生产废品期望是1X+2X+3X=1,乙生产废品期望是1X+2X=,甲生产废品期望大于乙生产废品期望，甲、乙两人中技术较好的是乙.答案：乙4 .解析：选项A,B是随机事件；选项D是定值2；选项C可能的取值为O,1,2,可以用随机变量表示.答案：C5 .解析：由离散型随机变量X的分布列得：01-2q1,Oq21,、0.5+12qq2=1,答案：密关键能力题型突破例1解析：()随机变量X的分布列为P(X=g)=&伏=1,2,3,4,5).P(X=+P(X=+P(X=$+P(X=+P(X=1)=a+2+3a+4a+5a=1,解得a=(2)P(X)=P(X=-)P(X=-)+P(X=1)=3-+4+5-=-.5551515155(3)P(-X-)=P(X=-)+P(X=-)+P(X=)=-+2-+3-=-.10105551515155巩固训练1解析：(1