求数列极限的十五种方法.docx

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1、求数列极限的十五种方法目录1 .数列极限定义法11.1. 1.概述11.2. 直接法21.3. 适当放缩法21.4. 适当放大条件法31.5. 5.反证法31.6. 实用42 .利用柯西收敛准则53 .运用单调有界定理54 .利用迫敛性准则（即两边夹法）65 .利用定积分的定义计算极限66 .利用（海涅）归结原则求数列极限77 .利用施托尔茨（SIoIZ）定理求数列极限88 .利用级数求和求数列极限99 .利用级数收敛性判断极限存在910 .利用幕级数求极限1011 .利用微分中值定理求极限H12 .巧用无穷小数列求数列极限I113 .利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限1314 .利用压缩

2、映射原理求数列极限1315 .利用矩阵求解一类数列的极限151 .数列极限定义法1.1. 概述我们知道初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法。极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的。我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正六边形的面积来推算圆面积的方法一一割圆术，就是极限思想在几何上的应用。在本文中主要介绍了几种不同的方法来加深对数列极限定义的理解和掌握.但在实际的教学中我们看到，学生在运用数列极限定义证明极限存在还是有一定的困难，这是由于学生对极限-N定义中的“任意”、“存在N

3、”、“使得xn-aN时，不等式打口司都成立，那么就称常数a是数列Xn的极限，或者称数列Xn收敛Symbo1eB(S)xn=a0,正整数N,当nN时，有xn-ak。我们应该注意到：定义中的正整数N是与任意给定的正数有关的，它随着的给定而选它。那么，要如何根据来确定N?N的取值是唯一的吗？这些问题都将是在解题过程中遇到的。接下来简单介绍几种常用的解题方法。1.2. 直接法对常见的一些简单的极限问题可以直接由不等式xnav解出No其过程如下：首先对0,从xn-av分析出n(),然后取N=(Symbo1eB(S)12=0o证明：对0,由1n2-0=1n2v成立，解得n1。取N=1J,则当nNHI1n2

4、Symbo1eB()1n2=0o1.3. 适当放缩法很多时候，我们不能直接由不等式|xn-a|v得到N,此时我们可以采用适当的放缩，具体过程如下：首先将xna适当放大成f(n),即不等式xnavf(n)对任意n都成立；其次对0,分析出f(n)v成立时n所要满足的条件n();最后取N=)。例2.已知xn=(-1)n(n+1)2,证明数列xn的极限是0。证明：对0,欲使IXn-O1=I(1)n(n+1)2=1(n+1)2v(1)1n2v(2)成立，由不等式1n2ve解得：n1,由于上述式子中的等式和不等号(1)对于任意的正整数n都是成立的，因此取N=1J,则当nN时，不等号(2)成立，进而上述系列

5、等式和不等式均成立，所以当nN时，|xnO|v。注1：在利用数列极限的定义来论证某个数a是数列Xn的极限时，重要是对于任意给定的正数,要能够指出定义中所说的这种正整数N确实存在。如果知道xna当然也成立。若令这个量小于能推出符合定义要求的正整数N必定存在，就可采用这种方法。例2便是这样做的。当然，在利用极限定义证明极限时，如果能够具体找出一个满足定义要求的正整数N,那么也就证明了这种N的存在。在例2中，若设N1时，有xnavf(n)0其次对任意的0,分析出f(n)4时，n+4n2+n+1-0=n+4n2+n+1n+nn2+n+1。要使n+4n2+n+1-0v,只要使2nv成立，即n2。故取N=

6、max4,2,贝当nN时，Symbo1eBn+4n2+n+1=0o注2：对于一个有多项组成的代数式，可适当放大或者缩小为这个代数式的一部分。如：n2+n+1n2n2+n+1nn2-nn2n(n+1)2n+11. 5.反证法在文章中反证法主要是为了解决关于数列发散的问题。但本质上还是利用极限的定义，只不过是从另一个角度来阐述数列极限的定义，巩固我们对其定义的理解。例4.证明数列xn=(-1)n+1,n=1,2,，是发散的。Symbo1eBxn=a,取=14。存在正整数N,当nN时，xnav14成立。即当nN时，Xn都在开区间a14,a+14内。但这是不可能，因为n-Symbo1eB(S)时，Xn

7、不断的重复取得1和1这两个数，而这两个数不可能同时属于长度为12的开区间a14,a+14内。所以数列xn=(1)n+1是发散的。以上是数列极限定义证明数列极限的几种常用的方法，但对于不同的题目所用的方法不是唯一的，也不是一成不变的，有的题目可能需要结合几种不同的方法，这需要我们做题时认真观察，深入思考，通过不断的做题总结，相信初学者一定能够更好的掌握，运用。1.6. 实用N定义：设”为数列，a为定数,若对任给的正数,总存在正数N,使得当N时，有则称数列勺收敛于白;记作：否则称“为发散数列.例求证：Iiman1f其中0.证：当=1时，结论显然成立.当1时，i己=-1,贝IJa0,a=(1+af+

8、na=+n(a-1)得-a-an-1,n任给0,则当伫1N时，就有M-IV,即凉-11,由上易知：1imb；=1,，aT8ri11Iim=1.n2.Iim6ZtTOC综上，Iimf1f1=1,其中a0.(x例求：Iim匕.In解：变式：.J1二1！12789zz-1n7!n6!nn|6!n7?1T171*70,3JV=,贝IJ当N时，有O0,三正整数N,使得当、相N时，总有：-成立.例证明：数列“之平5=1,2,3,）为收敛数列.=12Vf0,取N=，当mN时，有氏一XJo,三正整数N,使得当7n时，有Iyit-儿,|；此即j1-mz,-f1-11+x,1-I+m41-I0f=1,2,）极限存

9、在，并证：由假设知x“=Ja+“I;用数学归纳法可证：XaWN;此即证值是单调递增的.事实上，OVn,ya+xn+Ja+1N时，有：ancnbn,则数列,收敛，且则ct=.例求：1im(-r-!+)n*x/:*+n+1+2n+n+n解：记：xn=-r-+-T-+，贝的+?+1n+n+2n+n+n1+2d-n1+2+一；.一;；n+n+n+1tD;从而im*!1=11im勺+D,2(z+2i)2(-+7?+1)Er2(n+2n)2n*x2(r+w+1)由迫敛性，得：1im(一一+一一十+一!一)=1.Fn*+w+1n+n+2n+n+n2注4：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用

10、，起着基础性的作用.5.利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为Ax)定义在上的一个函数，J为一个确定的数，若对任给的正数0,总存在某一正数5,使得对口的任意分割丁，在其上任意选取的点集低，A；-I；j只要Tv5,就有f/(M)x,-JV,则称函数1-I/(X)在4句上(黎曼)可积，数J为/(X)在口,句上的定积分，记作J=(x)公.例求：1im(n!),-r(2n!)j.=exp1例求：Iim1-*x=IimJ(+W)(2)解：原式=Iim-nn=Iim(1+-)(1+-).(1+-)”fT-fe1n(1+-=ex(1n(1+xZrj=ex(21n2-1).sin+1.2.nsinsinn,n：FH-解：因为:+T.n.+snsin5-毛(8),有1im(xf,)=A.*-HfB