专题16 已知核心方程(隐性)和未知核心方程直线过定点模型(解析版).docx

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1、专题16已知核心方程(隐性)和未知核心方程直线过定点模型题型一已知核心方程(隐性)先将隐性核心方程等价地转化为显性核心方程.【方法总结】(1)单参数法：设动直线PM方程为y=M-o)+yo,联立直线与椭圆(抛物线)，解出点M的坐标为(4(A),8e)，同理(由核心方程代换)，得出点N的坐标为(CU),D(k)f然后写出动直线MN方程，即/X,y)+g(x,y)=0,根据直线过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立),得到方程组历一以方程组的解为坐标的点就是直线所过的Iga，y)=o；(2)双参数法：设动直线MN方程(斜率存在)为y=H+f,由核心方程得到/)=0,把，用2表示或把女用

2、，表示，即如，y)+g(,、)=0(或讥,y)+g(,y)=0),根据直线过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组以方Ig(X,y)=0；程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.【例题选讲】J2例1已知椭圆C：，+W=1(。力0)的右焦点F(3,0),长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不经过点3(0,1)的直线I与椭圆C相交于不同的两点M,N,若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线/过定点，并求出该定点的坐标.规范解答由题意得，C=小，*=2,tz2=炉+/,.,q=2,b=,椭圆C的标准方程为3+y2=1.(2)双参数法当直线/的斜率存在

3、时，设直线/的方程为y=H+m(m1),M(Xy1),Ng”).,=Axn,联立J,1,消去丫，可得(软2+1)/+8的+4?24=0./=16(很2+1旭2)0,+471=4此+x2=以券;X1M=；2+:丁点B在以线段MN为直径的圆上，BMBN=O.则3M8N=(X,Ax+/W-1)(x2,AX2+?-1)=(R+1)xX2+k(m1)(x,2)(n-1)2=O,4/2-48km；(+D“+A(11)4.+(=1)2=0,整理，得5评一2?3=0,解得m=一35或m=1(舍去).直线/的方程为=履一.易知当直线/的斜率不存在时，不符合题意.故直线/过定点，且该定点的坐标为(0,1)例2已知

4、椭圆O：,+%=130)的左、右顶点分别为A,B,点尸在椭圆O上运动，若4%8面积的最大值为21椭圆O的离心率为*(1)求椭圆O的标准方程；(2)过8点作圆E：f+。-2)2=户(0r(3+4t)x2-16tx16t-12=0,c16后一12r8后一6.一12h2尸3+4后即H=JT布5=TR讦h和8的一68-6-2k2k问理及一乔谚一了由，一干超一项国；12k12k._.一)”_4+3-3+4后_岛，kcD=X2x=86好8面苍=4(好+I).4+3-3+4后直线CD的方程为y+瑞j=品+一繇)，整理得y=、一永磊=舟1?”74).直线8恒过定点(14,0).【对点训练】1.椭圆C，+方=1

5、(。力0)的离心率为3，其左焦点到点P(2,1)的距离为切左(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线/：y=区+加与椭圆C相交于A,8两点(A,8不是左、右顶点)，且以48为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.1.解析(1)由e=；=得=2c,Y/=6+f2,.力2=3/,则椭圆方程变为券+力=1.又由题意知d(2+c)2+12=/,解得C=I,故f=4,护=3,即得椭圆的标准方程为5+=1.(2)双参数法y=kx-mt设Aa1,乃)，Sg,”)，联立得(3+42)f+8而+4(/3)=0,rJ=64z-16(3+4F)(】23)0,_8阳则v=-3+42,4(W2

6、-3)3片3+4F.,.,3(w2-4F).yj2=(kxm)(kx2M)=kxX2+nk(x+也)广=-3+4-丁椭圆的右顶点为4(2,0),AAz18,，(X12)(X22)+)=0,”+为工22(x+及)+4=0,J当三奔+悟言+若*+4=0,.7/+16+叱=0,解得m、=2k,fn2=JIqK3IJK3ItK_2k-T,由40,得3+43一加20,当利=-22时，/的方程为y=x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾.当他=一空时，/的方程为y=(k,),直线过定点停，0),且满足，直线/过定点，定点坐标为住.0).2.如图所示，已知椭圆M：5+=13b)的四个顶点构成边长为5的菱

7、形，原点O到直线AB的距12离为丁，其中A(0,。)，B-bf0).直线/：x=ny+与椭圆M相交于C,D两点,且以CD为直径的圆过椭圆的右顶点P(其中点C,D与点P不重合).(1)求椭圆的方程；(2)证明：直线/与X轴交于定点，并求出定点的坐标.2.解析(1)由已知，得2+F=52,由点A(0,a),B(-b,0)知，直线AB的方程为T+=1,BPa-by-ab=.又原点O到直线AB的距离为呆即/所以/=16,b2=9,c2=16-9=7.Dy(r-rb-j22故椭圆M的方程为代+=1.(2)双参数法由知P(3,0),设C(X,y),Dg”)，将x=my+代入石+，=1,D162144整理，

8、得(16用2+9),2+32加竺，+162144=0,则N+也=一百JT百，W=石/百因为以Co为直径的圆过椭圆的右顶点P,所以瓦?.瓦)=0,即(加一3,1)。23,”)=0,所以(即-3)(右-3)+y=0,又X1=Zny1+，X2=my2-n1所以(gy+-3)(Zny2+-3)+w=0,整理，得(评+加”+皿-3)(j+”)+(-3/=0,ar,.16/z214432Wi1)即(加+D16/+9+M-3)+5-3)=0,16(n21)(-9)32w-3)所以16“9-16源+9+(“TA-0,易知邦，所以16(川+1)5+3)322+(16+9(-3)=0,整理，得25+21=0,即=

9、若，经检验，=一昼符合题意.所以直线/与X轴交于定点，定点的坐标为(一|1,0).3.如图，己知直线/：旷=履+1伙0)关于直线)，=1+1对称的直线为八，直线/,人与椭圆E：+y2=1分别交于点A,M和A,N,记直线人的斜率为k.(1)求攵内的值；(2)当化变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.3.解析(1)设直线/上任意一点PCr,y)关于直线y=x+1对称的点为Poa0,却)，y-Iv-1直线/与直线人的交点为(0,1),:y=Ax+1,:y=Mx+1,*=JT-人人O由丐=W+1,得y+yo=x+xo+2,.由七谓=一】，得y加=M)一

10、工，由得，y=xo+1,Is+1,FM=W-G,5,o)1(x1)(o1)(xo2)1x-s=77=1.XVoXrO(2)单参数法由84得(4A2+1)x2+8履=0,设M(xm,m)，N(XN,川)，.XM=fj,f1-44A-+同理可得XN=8k8k14后2-44+1=4+P)=4+1=4+P1-4F4_yf-)W_4-+14+_88炉_/+1Amn=xm-x：8女一7=8A(3A2-3)=-3k，4214+2直线MMy-y,M=k,MN(x-xm),=H14KF1f-8k、即厂4.+1=3女卜4.+1BrF+18(21)11422+15七八1+,匕.即y=-3(4A+1)+42+1=3x

11、3,当k变化时，直线MN过用.点题型二未知核心方程【方法总结】单参数法：设出动点可动直线的方程为，解出点M的坐标为(A(A),8(A),解出点N的坐标为(C(&),D(k)t然后写出动直线MN方程，即领X,y)+g(x,y)=0,根据直线过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组)以方程组的总，y)=0；解为坐标的点就是直线所过的定点.图4【例题选讲】例1(2023全国I)已知A,8分别为椭圆E：+y2=131)的左、右顶点，G为E的上顶点，AGGB=S,P为直线x=6上的动点，以与E的另一交点为C,PB与E的另一一交点为Q.(1)求E的方程；(2)证明：直线Co过定点.

12、x=6I规范解答(1)由椭圆方程E：u+V=1(a1)可得4一。，0),即?，0),G(0,1),A=(a,1),G=(4,-1).二不乙份=/-1=8,/=9.椭圆七的方程为+y2=1.(2)单参数法由得4一3,0),5(3,0),设P(6,光)，则直线”的方程为尸言为a+3),即尸匏+3),直线B尸的方程为y=匕，(X3),即尸当。一3).O3Jf+r=*联立直线AP的方程与椭圆E的方程可得，、整理得4+9*+6)也+9。y=*+3),-81=0,“巾_327MF-3)4+27八、M1,-t.zf,6yo解得X=-3或X=1+9.将K=W+9代入=号(工+3),可得尸田可，.点C的坐标为(端苧z,霜.同理可得，点D的坐标为(肃，词.6m_仁2),.士Z1SiU”工，-2和、)3+9(3)13、直发CD的万程为厂J+1=一3而+273正3卜M+11)3+9)3+1整理可得丹念=肃系_3京一3)M+故直线。过定点G，0).4yo(3)13)-3(3)VM+1/例2已知椭圆Ci：/+g=1(bO)的右顶点与抛物线C2:y2=2p的0)的焦点重合，椭圆G的离心率为看过椭圆G的右焦点尸且垂直于X轴的直线被抛物线C2截得的弦长为41(1)求椭圆Ci和抛物线C2的方程；(2)过点42,0)的直线/与C2交于M,N两点，点M关于X轴的对