常用离散分布－超几何分布.docx

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1、3.超几何分布从一个有限总体中进行不放回抽样常会遇到超几何分布。设有N个产品蛆成的总体，耳中含有M个不合格品。若从中随机不放回地抽取n个产品，则耳中不合格品的个数X是一个离散随机变量，假如nWM ,则X可能取0 1 1 ,n；若n ,则X可能取0 , 1,M ,由古典方法(参见例1.1一4)可以求得X = X的概率是：I x JI n- x Jp(X = x) = 个 _L , x = 0,1,2,- r (1.2-7)其中r=minS.M),这个分布称为超几何分布,记为h(n,瓦M)。超几何分布hS，瓦M)的均值与方差分别为：跃 =nM7T7ar(X)=n(N -n)N-1(12)-8例1.

2、2-12一货船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶，现发现5桶被海水污染了，若从中随机抽取8桶，并记X为被污染的桶数,求X的分布。解：按题意可知 X服从超几何分布h( n. N - M ),其中N= 20 , M= 5 , n=8, r=min(n. M)=5,所求的分布为：P( X=x)=缶)(20一5、TT,x=0,1,2,3,4,5“谆,0)1 8；当 X二 0 时，P ( X= 0)= 7、=6435/125970= 0.0511p)X=1 nTP(X=l) = 0.2554类似的可苴出X= 2 - 3 - 4 - 5的概率P (X = 2) =0.3973P (X = 3) =0.2

3、384P (X=4) =0.0542P (X = 5) =0.0036这是X的分布，其线条图如下图,图1.29超几何分布A(8, 20, S)的段条图由此还可算出各种事件的概率。例如，取出的8桶中有不多于3桶被污染的概率为P ( X 3 ) = P ( X= 0 ) +P ( X= 1 ) 4P ( X= 2 ) 4P ( X= 3 )=0.0511XI .25540.3973-H3 .2384= 0.9424最后我们还可以计算出此超几何分布M&20,5)的均值、方差和标准差-E(X)=nM8*5=220. n(N-n) M( M 8(20-8) 5 15VaiX)= -1-=- =0.9474N-l N、 N)1920200() = 709474 =0.97