2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 2-3-3 直线与圆的位置关系 学案.docx

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1、2.3.3直线与圆的位置关系新课程标准解读核心素养1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系直观想象2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.体会用代数方法处理几何问题的思想数学运算K+读I教I材知识梳理6以本为本抓双基防情境导入“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片.问题(1)图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？(2)结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？(3)如何判断直线与圆的位置关系？/新知初探知识点直线与圆有三种位置关系位置关系交

2、点个数图示相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没在公共点4,心占一*占蜴八，、直线Ar+8)，+C=O与圆(xa)?+。-bp=J的位置关系及判断位置关系相交相切相离判定方法几何法：设圆心到直线的距离d-I,c1a2+b2dr代数法：Avy+C=0,由，工，小22消元得到一元-a)+y-b)-=r二次方程的判别式/J0J=OJ0,，该方程组有两组不同的实数解，即直线/与圆C相交.法二(几何法)：圆心(7,1)到直线I的距离为4=竽;小.2Vr=6,：.直线/与圆C相交.I通性通法I判断直线与圆位置关系的方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径一的大小关系判断:(2)代数法：根据直线与

3、圆的方程组成的方程组解的个数来判断.CZf跟踪训练1 .直线-6+1=0与圆/+y2=1的位置关系是()A.相交B.相离D.相切C.相交或相切解析：C直线X心，+1=0恒过定点(-1,0),而(一1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交.2 .直线0r+by=/与圆x2+y=/相离，则pg,。)与圆f+y2=户的位置关系是点在圆.(填“外”“上”或“内”)解析：圆2+y2=户的圆心为(0,0),半径为广，由于直线x+勿=r2与圆f+y2=户相离，所以ya2+b2r,rya2+b2t所以/+/0),所以Q。产+。)2=2,即64+5=0,解得。=1或。=5,所以圆心的坐标为1)或5),所以圆心到直线

4、Z1厂3=的距离为肾导=乎或解析(1)因为圆与两坐标轴都相切，点(2,1)在该圆上，所以可设该圆的方程为。一op25-5-3251C卷+(T)2=t故选日(2)法一：因为22+()2=10,所以点M在圆f+y2=10上，由题意可知圆心为C(0,0),则直线CM的斜率Am=坐.因为圆的切线垂直于经过切点的直径所在的直线，所以所求切线的斜率左=一而.故经过点M的切线方程为y-y=(x2),整理得2-y6y-IO=0.法二：显然点M(2,#)在圆f+y2=10上，又因为过圆Y+y2=/上一点(Mh州)的切线方程为Mr+yoy=/，故所求切线方程为2+y=I0,即2x+a/$10=0.(3)法一：由x

5、2+y2+2-4y+3=0,得(x+1+。-2=2,依题意得圆心C(1,2)在直线20v+b+6=0上，所以24X(-1)+8X2+6=0,即=+3,易知由点3,一向圆所作的切线长=(+1)2+kb2)22,将代入，得=(6+4)2+(6-2)2-2=/(b+1)2+16.又1R,所以当6=1时，min=4.法二：因为过圆外一点的圆的切线长/、半径r和该点到圆心的距离d满足勾股定理,即/2=片/，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，则原问题转化成求该点与圆心的距离的最小值问题.由题意知圆心C(1,2),半径r=&,点(a,协在直线y=x3上，所以点3,6)与圆心的距离的最小值即圆心到直线3的

6、距离才，易求得d=匕M二=32,所以切线长的最小值为N(3也)2-2=4.答案(I)B(2)2x+6y-10=0(3)4I通性通法I1 .过圆上一点(顺，州)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为一S由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y=yo或=沏.2 .过圆外一点(的，州)的切线方程的求法设切线方程为)，一和=Hr-Xo),由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得心也就得切线方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为X=Mh因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解

7、.3 .求切线长(最值)的两种方法(1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.。跟踪训练1 .已知圆C：(十一2左+1)2+，一回2=1与X轴和),轴均相切，则实数攵的值为.解析：圆C。-2攵+1)2+。-攵)2=1的圆心为(2女一1,攵)，因为圆C与X轴和y轴均相切，所以|2%II=W=1,解得k=1.答案：12 .点P是直线2x+y+10=0上的动点，PA,P8与圆+)2=4分别相切于A,B两点,则四边形PAOB面积的最小值为解析：如图所不，因为SBiiJjvPAOB=2S,poa.XOA

8、A-AP,所以S田边形o8=2X/OAI剂=230杆一Q42=2MopI2-4.为使四边形paob面积最小，当且仅当IoPI达到最小，即为点O到直线2r+y+10=0的距离：IOP1min=F1M=21故所求最小值为2(25)2-4=8.答案：8题型三直线截圆所得弦长问题例3直线I经过点P(5,5)并且与圆C：2+=25相交截得的弦长为45,求/的方程.解据题意知直线/的斜率存在，设直线/的方程为y5=k(x5),与圆C相交于4国，y),B(x2,”),联立方程组y-5=k(X5)2+y2=25.消去y,得(F+1+10A(1-)x+25W-2)=0.由/=10网1一初2一4(标+1)25k-

9、2)0,解得A0.又XiX2IOk(1-k)-F+1-25k(-2)川及二西厂由斜率公式，得力一力=忒为一%2).二48=y(Xix2)2(y-)=、(1+F)(xX2)2=7(1+()(X1+%2)2-4xiX2I,、100F(T)225k(攵-2)、1=V(1+加g+1)2-a)=45.两边平方，整理得2炉一52+2=0,解得攵或2=2符合题意.故直线/的方程为-2y+5=0或2-y5=0.法二：如图所示，|0M是圆心到直线I的距离，|。4|是圆的半径，IA!是弦长A8的一半.在RtZAO中，|。4|=5,AH=引=2X45=25,则O7=OAF-IAM2=小.15(DI,4+I-5,解得

10、k=g或k=2.，直线/的方程为-2y+5=0或2-y-5=0.I通性通法I求弦长的两种方法涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有两种:(1)由于半径长八弦心距d、弦长/的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理+保=/求解，这是常用解法;(2)联立直线0，=履+b)与圆的方程，消元转化为关于X的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长8=41+2切-X2=127Cr1+&)4JqX2或IA剧1pIy1一”|=7+N(y1+y2)2-42跟踪训练1.(2023天滓所者)已知直线X3y8=0和圆2+j2=/(r0湘交于A,B两点.若AB=6,则，的值为.解析：依题意得，圆心(0,0)到直线-5y+8

11、=O的距离d=3=4,因此，=/+(黑2=25,又0,所以r=5.答案：52.(2023北京简考)已知圆C：x2+y2=4,直线/：y=kx+m,当攵变化时，/截得圆CB.2D.3弦长的最小值为2,则m=)A.2C.3解析：C由题可得圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线的距离d=,则弦长为2yJ4,则当2=0时，弦长取得最小值为244M=2,解得m=p.故选C.丘拓I视I野思维进阶6探究关联开眼界与圆有关的探究性问题如图，圆2+y2=8内有一点Po(1,2),AB为过点Po且倾斜角为的弦.(1)当=135。时，求AB的长；(2)是否存在弦AB被点马平分？若存在，写出直线A8的方程：若不存在

12、，请说明理由.圆问题探究此题目为探究性问题，属探究题存在类型范畴，解决这类问题一般思路：首先假设所探究的问题存在，在这个假设条件下进行推理论证，如果能得到一个合情合理的推理结果，就肯定假设正确.如果得到一个矛盾结论，就应否定假设，对问题作出反面回答.团迁移应川1.对上述问题进行解答.解：(1)直线A8的斜率为&=tan135。=一1,二圆心0(0,0)到直线AB的距离d=(2)假设存在弦AB被点尸平分,，直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=O.小一2,凡为弦AB的中点，又IOAI=IO8=r,.,.OPo-1AB.2O又YkOPo=t=2,：kAB=g-I-U2.直线AB的方程为y2=.+1),-+5=0.由以上求解可知，存在被R)点平分的弦AB,此弦所在直线方