2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 1-1-3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 学案.docx

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1、I.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系新课程标准解读核心素养1.掌握空间向量的正交分解及坐标表示直观想象2.掌握空间向量线性运算的坐标表示数学运算3.掌握空间向量数量积的坐标表示，并利用数量积判断两向量的共线与垂直数学运算、直观想象合读I教I材.知识梳理A-以本为本抓双基购情境导入我国著名数学家吴文俊先生在数学教育现代化问题中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的腾飞，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法.”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使

2、得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算.问题(1)设m=(x,y),n=(x2闻，那么m+n,mn,Am,mn如何运算？(2)空间直角坐标系中，点A(X1，yi，z),5(X2,g，Z2),贝IJ1iA如何表示？/新知初探知识点一空间中向量的坐标及运算1 .空间中向量的坐标(1)单位正交基底：如果空间向量的基底e,e2,e3中，e1,e2,5都是单位向量，且这三个向量两两垂直;(2)单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解；(3)向量P的坐标：在单位正交基底下向量P=Xe1+.ye2+ze3,则称有序实数组(,v，2为向量P的坐标，记作P=(X,V,z).其中X,y

3、,z都称为P的坐标分量.2 .空间向量的运算与坐标的关系设a=(X,y,z),b=(X2，2，Z2),则(1)a+b=Cn+x2,)1+力，Zi+Z2)；(2)avb=QzX+X2,y+V2,Zi+1Z2);(3)ab=XP2+yiv2+z1z2;(4)a=aa=I+M+z?;仆aksab即也+)2七2工2csab+zi+3 .空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直设a=(x,p,Z1),b=(12,丁2，Z2)，则(1)abZ2),由题设可得2x-X2=2,Ki+2X2=1,Xi=1.X2=0,同理可_ab_6ab得y=-1,力=2,z=1,Z2=-1即a=(1,1,1),b=(0,2,1),

4、则ab=0-2-1=-3,a=3b=5,所以COS(a,b)答案(1)一4(2)一当I通性通法I关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；(2)由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标.Z跟踪训练1 .已知A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且75=2a,则点8的坐标为()A.(-7,10,24)B.(7,-10,-24)C.(-6,8,24)D.(-5,6,24)解析：DVa=(-3,4,12),且75=2a,海=(-6,8,24).YA的坐标为(1,-2,

5、0),OA=(1,-2,0),OB=ABOA=(-6+1,82,24+0)=(-5,6,24),点8的坐标为(-5,6,24).故选D.2 .已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),则a(-2b)=,(ab)(2a-3b)=.解析：a(-2b)=-2ab=-2(0+1+0)=-2,a-b=(1,0,-1),2a-3b=2(1,1,0)-3(0,1,1)=(2,-1,-3).(a-b)(2a-3b)=(1,0,-1)(2,-1,-3)=2+3=答案：一25题型二空间中点的坐标确定及应用【例2】在棱长为1的正方体ABCD-AiBiCQi中，E,尸分别是A。，8。的中点，G在棱Co上，且CG=C

6、Q,H为GG的中点，试建立适当的坐标系，写出E,F,G,的坐标.并求G”的长度.解建立如图所示的空间直角坐标系.点E在Z轴上，它的X坐标，y坐标均为0,而E为。的中点，故其坐标为(0,0,5).过尸作尸M1W于点M,FN工DC于点N,由平面几何知尸M=/FN=；,则尸点坐标为T，0)3-4点G在y轴上，其右Z坐标均为0,又G4故G点坐标为(0,过“作HK_1CG于点K,由于”为GG的中点，故HKfCK1o.QK=(,故”点坐标为(0,AGH=N(O-O)I通性通法I1 .建立空间直角坐标系时应遵循的原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性.2 .求某点的

7、坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标.3 .利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤Gr跟踪训练如图，建立空间直角坐标系QDZ正方体ABCD-4夕。的棱长为1,顶点A位于坐标原点.(1)若E是棱BC的中点，尸是棱夕8的中点，G是侧面CQOC的中心，则分别求出向量3武，OG,出的坐标；(2)在(1)的条件下，分别求出(Pr+宓)同，I窃I的值.解：(1)因为E是棱EC的中点，尸是棱夕3的中点，G是侧面Cz)OC的中心,所以0(0,0,0),4I,*I)，K,0,0,“，I,：)

8、.所以O百=(1,1),0尸*=(1,0,；),Od=&1,FG=OG-OF=1,)(2)由(I)可得(N+B)而=修|,),1,O)=IX(Y)+jx+xo=/EG=(-*V-5所以诙I=1(-9+(一)=坐题型三空间向量的平行与垂直【例3】已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),。(一3,0,4),设a=7F,b=AC.若C=3,C笆.求C；(2)若Aa+b与&a-2b互相垂直，求2.解(1)因为笆=(一2,-1,2),且C笆，所以设C=Jr交=(-22,-2,2A),得IC1=(-2)2+(-2)2+(2z)2=32=3,解得A=1.即C=(一2,-1,2)或C=(2,1,-

9、2).(2)因为a=(1,1,0),b=k=(1,0,2),所以a+b=化一1,k,2),女a-2b=(A+2,k,-4).又因为伙a+b)_1(3一2b),所以(ka+b)(-2b)=0.即伏一1,k,2)(A+2,k,-4)=2A2+-10=0.解得k=2或=-1.故所求2的值为2或一|.鼠母题探究(变条件)若将本例中“c/”改为“_1_3且_11”，求U解：aAB=(1,1,0),b=AC=(1,0,2).设C=(x,ytZ).yy2+z2=9,由题意得+y=o,.一x+2z=0.解得x=2,y=-2,z=1或x=2,y=2,z=-1f即C=(2,-2,1)或C=(2,2,-1).I通性

10、通法I判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行：(2)向量关系代数化：写出向量的坐标；(3)对于a=(x,j,z),b=(i2,y2,2),根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直；根据工尸石y=A2,Zi=MzQWR)或?=?(X2,y2,Z2都不为0)判断两向量是否平X2yiZ2行.由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程(组)求解即可.。跟踪训练1 .已知向量a=(23,1),b=(4,?，)，且a=b.其中in,R,则mn=()A.4B.-4C.2D.-24解析：B因为向量a=(-2,3,-1),b=(4,mt)，且a=rb,可得ab,所以三MM16,二号=彳可得所以阳+=-6+2=4,故选B.3-1n=2,2.已知空间向量a=(1,2,-4),b=(x,1,3),若分_1_9+与，则X=解析：根据题意，易知a+b=(x-1,1,-1),因为a_1(a+b),所以a(a+b)=0,即(K-I)X(1)+1X2+(1)X(4)=0,解得x=7.答案：7题型四利用坐标运算解决空间向量的夹角、距离【例4】(链接教科书第20页例3、第25页例7)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABGABC中，CA=CB=,NBCA=90。，棱AA1=2,N为A