2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 2-4圆的方程2-4-2圆的一般方程 学案.docx

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1、2.4.2圆的一般方程学习任务核心素养1 .掌握圆的一般方程及其特点.（重点）2 .会将圆的一般方程化为圆的标准方程，会由一般式求圆心和半径.（易混点）3 .能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程.（重点、难点）1 .通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养.2 .通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养.必备知识情境导学探新知情境趣味导学预习素养感知情境与问题:把圆的标准方程（万一42+&-6）2=产展开得到。+/2a-2勿，+才+斤一/=0.可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：戈+/+加+分+Q0.反之，这个方程表示的图形是否都是圆呢？知识点圆的一般

2、方程（1）圆的一般方程当#+步一40时，二元二次方程O+J+i+敌+QO叫做圆的一般方程,此时方程表示以（二今二D为圆心，d+上一4/为半径的圆.（2）方程2+Zjy+=0表示的图形条件图形Z/+i?-4R0不表示任何图形)+-4P=0表示一个点（一，一方+层一4冷0表示以（一争一3为圆心，以万+/4/为半径的圆思考机点做用，必）和圆V+/+加+。+月=0的位置关系怎么判断？提示点在圆外O京+麻+照+诙+Q0;点在圆上0+M+ZZ+j+7=O;点M在圆内台/+B+z+益+尺0.体验XD圆Ar2-6x=0的圆心坐标是.(2)若方程/i9xF=0表示以(2,-4)为圆心，以4为半径的圆，则F=(1

3、)(3,0)(2)4(1)方程y-6=0可化为(犬-3)Z+/=9,则圆心坐标为0).cD-2=2由题意知0,解得痣即实数功的取值范围为(一8,3法二：化为圆的标准方程求解.方程x+y2m-2yn15/=O可化为(xzn)2(y-I)?=1一5r.由题意知15%0,即欣O所以实数力的取值范围是(-8,(J.将方程f+/+2加r2y+；+5勿=O写成标准方程为(x+r)+(y-I)?=1一5/，故圆心坐标为(一/,1),半径r=y-5m.JS思领悟判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆.此时有两种途径：一是看ImF

4、是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数.跟进训练1.判断方程夕+/_4侬+2帆+20/-20=0能否表示圆.若能表示圆，求出圆心和半径.解法一：由方程f+/-4加x+2用p+20t-20=0可知。=4%，E=2m,F=z20一20,)+月4416/+4病-80%+80=20-2)2.因此，当m=2时，它表示一个点；当小2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2卬，一加，半径为r=呆/+?-4F=乖m-2.法二：原方程可化为(-2R)2+(y+而2=5(m-2)2,因此，当/=2时，它表示一个点；当加2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2卬，.而,半径为二=乖|加一21.

5、口类型2求圆的一般方程【例2】已知0),25+4A+3E+Q0,29+5+2-O,JP+F=O,“一6,解得=2,F=5,因此其外接圆的一般方程为zy6x2y5=0.法二：(几何法)5Q力的垂直平分线方程为y=即尸x2；”的垂直平分线方程为y等一(1券即尸一叶4.J=X-2,由一得圆心(3,1),半径r=43?+3/=#.y=-x+4,所以圆的方程为(x-3/+3-1)2=5,即X/6x2y5=0.法三：(几何法)3930因为力氏4。的斜率，满足金屐=X1r=-1,所以力员14C,AABC为直角三4541角形.所以比为外接圆的直径.外接圆圆心(3,1),半径为斗%=5-I？一。三力,乙乙所以圆

6、的方程为(X3)2+31)2=5,即Xy6-y2y5=0.(2)由(1)知，点.(a,2)在Vy6-2y5=0上，.，+46a2X2+5=0,即一-6a+5=0,解得a=1或5.现规律.试总结求圆的方程的策略.1 提示(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法：根据题意，选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于a,b,r或，E,产的方程组；解出a,b,!或D,E,代入标准方程或一般方程.跟进训练2 .圆心在直线尸*上，且经过点力(-1,1)(3,1)的圆的一般方程是.(2)已知4(2,2),8(5,3),C(3,-1),求胸的外接圆的方程.(1)+y

7、2-4-4y-2=0设圆的方程为f+/+加+0+产=0,则圆心是卜壬一3，fDE,22由题意知，2-+、+尸=0,、10+3人+尸=0,解得P=E=T,F=2,即所求圆的一般方程是f+/4x4y2=0.(2)解设448C外接圆的方程为x2+Z+=0,2+2E+7+8=0,由题意得上+3+户+34=0,IO=0,9=-8,解得=2,.4即力比1的外接圆方程为xy-8-2y12=0.类型3求动点的轨迹方程【例3】已知圆齐+了=4上一定点力(2,0),点以1,1)为圆内一点，p,0为圆上的动点.(1)求线段/1尸中点的轨迹方程；(2)若NW=90,求线段。中点的轨迹方程.尝试与发现线段的中点，直角三

8、角形斜边的中点，圆中弦的中点都有怎样的性质？由此你能得到什么结论？k)解(1)设线段的中点的坐标为(筋D，尸的坐标为(旅，“2+照x=2,0+j尸丁JXD=212,*y0=2y.又P(xq,H)在圆；,+/=4上，.*.(2-Y2)2(2y)2=4,.*.(x1)2y=1.设国的中点为ME。，在Rt哪中，I掰=|掰，设。为坐标原点，连接乂则QK1_(图略)，.Iopz=Imi2+w2=Im12+v2,xy(x-1)2(y-1)2=4.故线段中点的轨迹方程为V+V-*-y1=0.厂JS思领悟求与圆有关的轨迹问题的方法(D直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方

9、程.(3)代入法：若动点尸(必0依赖圆上的某一个动点0(施，而运动，找到两点的关系,把施，用y表示，再将点0的坐标代入到已知圆的方程中得产点的轨迹方程.跟进训练3 .设定点必(一3,4),动点N在圆f+/=4上运动，以OM为两边作平行四边形,胆W,求点的轨迹.解法一：(定义法)设5,y).MP=ON=21所以动点尸在以为圆心，半径为2的圆上.又因为四边形J仞怔为平行四边形，Q1991OQ所以，M尸不共线.当点尸在直线上时有X=-三，y=w或X=一,y=TDOO因此所求轨迹为圆5+3)?+(y-4)2=4,除去点法二：(代入法)如图所示，设(心力，M照，则线段帆的中点坐标为修，2线段腑的中点坐标

10、为传2牛）由于平行四边形的对角线互相平分，故5=再?，=空，从而（刘=x+3,又点MX+3,y4）在圆上，yo=y-4,故（x+3）2+Cr-4）2=4.Q19O1OQ当点尸在直线0上时，有X=-E，y=-（tX=7,7=.D0DD（Q19/9128、一中后）和点（一-r,司.学习效果课堂评估夯基础课堂知识检测小结问题点评1 .圆V+4-6y3=0的圆心和半径分别为（）A.（4,-6）,16B.（2,-3）,4C.（一2,3）,4D.（2,-3）,16C圆的方程可化为（x+2）2+（y3）2=16,因此圆心坐标为（一2,3）,半径？=4,故选C.2 .方程2+2ax+2+,+4=0表示的图形为（）A.以（a,为圆心的圆8 .以（一a,6）为圆心的圆C.点Q,6）D.点（一a,6）D原方程可化为+a）2+（y+6）2=0,x+a=O,x=af即y+6=0,y=-b.，方程表示点（-a,b）.3.方程/+/+287+24+4-1=0表示圆，则a的取值范围是（）22A.aV2或4鼻B.-a2JKJ2C.-2a0D.-2a0,所以3+4a4V0,所以七+2）（3打-2）0.3 .求动点的轨迹方程有哪些常用方法？提示直接法、定义法、代入法.