2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 2-2-1 直线的倾斜角与斜率 学案.docx

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1、2. 2直线及其方程2.2.1直线的倾斜角与斜率新课程标准解读核心素养1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素数学抽象2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式直观想象3.理解直线的方向向量及法向量，并能利用直线的方向向量判定直线的平行数学运算读I教I材知识梳理a以本为本抓双基我情境导入三峡大坝是当今世界上最大的水利枢纽工程，大坝拥有三峡展览馆、坛子岭园区、185园区、近坝园区、截流纪念园等五个园区.俯瞰长江，泄洪观景区和185米水位线的观景区波澜壮阔、雷霆万钧.浩大工程展现了国人的智慧和匠心.大坝上不同位置有的坡

2、度“陡峭”,有的“平缓”问题“陡峭”和“平缓”在数学中应该如何刻画？g新知初探知识点一直线的倾斜角与斜率1 .直线的倾斜角(1)定义：给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与X轴相交，将X轴绕着它们的交点按逆购方向旋转到与直线重合时所转的最小正血记为,则称。为这条直线的倾斜角；(2)范围：直线的倾斜角。的取值范围是0。180。，并规定与工轴平行或重合的直线的倾斜角为oo.2 .直线的斜率(1)直线的斜率：如果直线/的倾斜角为仇则当6W90。时，称k=tan。为直线/的斜率;(2)斜率公式：经过两点P1a,)，|),2。2,”)3WX2)的直线的斜率公式为4=X1=X2时，直线P/2斜率不

3、存在.心占一占1 .倾斜角的范围是e0,).2 .当e=/时，直线/的倾斜角为T,但斜率不存在.知识点二直线的方向向量和法向量1 .直线的方向向量(1)定义：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线/壬红或重金，则称向量a为直线/的一个方向向量，记作a/;(2)直线的斜率与方向向量的关系如果己知a=(，0)为直线,的一个方向向量，贝ij：当=0时，直线/的斜率不存在，倾斜角为90。；当WO时，直线/的斜率A=*2 .直线的法向量如果表示非零向量V的有向线段所在直线与直线I垂直，则称向量V为直线/的一个法向量，记作v.给想一想1 .设/是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为45。，你能写出

4、该直线的方向向量吗？提示：(1,1).2 .如果a=(-1,2)是直线/的一个方向向量，你能写出/的一个法向量吗？提示:(2,1).侈做一做1 .若直线/经过原点和(一1,1),则它的倾斜角是()A.45oB.135oC.45或135oD.-45o解析：B作出直线/,如图所示，由图易知，应选B.2 .已知直线/的倾斜角为30。，则直线/的斜率为()A.坐B.小C.1D.当解析：A由题意可知，直线/的斜率k=ian30。=乎.3.已知直线/经过点A(-1,3)与8(2,0),则直线/的一个方向向量为,斜率A=,倾斜角6=.解析：AB=(3t-3)=3(1,-1),则=1,夕=135。答案：(1,

5、-1)-1135心研I题I型-典例精析学用结合通技法题型一直线的倾斜角【例1】设直线，过原点，其倾斜角为将直线/绕坐标原点沿逆时针方向旋转45。，得到直线h则直线/i的倾斜角为()A.+45B.-135oC.135o-aD.。+45或-135解析由倾斜角的取值范围知，只有当0W。+45。180。(0。石。/180),即0。WaV135。时，的倾斜角才是。+45。.而0。WaVI80。，所以当135。WaVI80。时，/的倾斜角为q135。(如图).答案DI通性通法I求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角：(2)两点注意：当直线与X轴平行或重合时，

6、倾斜角为0。，当直线与X轴垂直时，倾斜角为90。:注意直线倾斜角的取值范围是(TWaV180.团跟踪训练1.如图，直线/的倾斜角为()C.30oD.150解析：D由题图易知/的倾斜角为45。+105。=150。.2.已知直线/经过第二、四象限，则直线/的倾斜角的取值范围是()A.0oz90oB.90WaVI80C.90o180oD.0o180o解析：C直线倾斜角的取值范围是(W0V180。，又直线/经过第二、四象限，所以直线/的倾斜角的取值范围是90。VQVI80。.题型二直线的斜率【例2】(1)若倾斜角为的直线过A(2,23),B(1,)两点，则实数=()A.3B.23C.33D.当(2)设

7、点A(m,-n3),B(2tm-)tC(-1,4)若直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数小的值为.解析(1)由题得二省=小,2、。=/，/.a=小.故选A.+3-4依题意知直线AC的斜率存在，则机W1,由kAc=3kBc得1(T)=n-143Xz、./W-4.2 U答案(I)A(2)4I通性通法I1 .利用斜率公式求直线斜率的注意事项(1)运用公式的前提条件是xim”,即直线不与X轴垂直，因为当直线与X轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P,P2的先后顺序无关，也就是说公式中的为与X2,y与”可以同时交换位置.2 .在(TW4180。范围内的一些特殊角的正切值要熟记.倾斜角

8、a0304560120135150斜率02313-1_亚3Z跟踪训练1 .(多选)若经过4(1m1+0和仇3,)的直线的倾斜角为钝角，则实数的值可能为()A.13B.2C.1D.2解析：CD据题意可知kAB=：+T=70,所以2.故选C、D.1a32a2.在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0,则AC,AB所在直线的斜率之和为解析：如图，易知&A8=小，以c=一小，则以8+Aac=0答案：0题型三求直线的方向向量或法向量【例3】已知直线/经过点A(1,2),8(4,5),求直线/的一个方向向量和法向量,并确定直线I的斜率与倾斜角.解7=(4-1,5-2)=(3,3)是直线

9、/的一个方向向量.由法向量与方向向量垂直,法向量可以为(-1,1).因此直线的斜率K=1,直线的倾斜角。满足tan。=1,从而J=45.I通性通法I求直线方向向量和法向量的方法(1)若A(X1,y)tB(x2f”)是直线上的两个不同的点，则直线/的方向向量为AB=(x2Xi,y2y)f直线的法向量和方向向量垂直：(2)直线的方向向量和法向量不唯一跟踪训练已知直线/经过点M3,3)和N(2,3+3),求直线/的一个方向向量和法向量，并求直线/的斜率和倾斜角.解：MN=(23t3+3-3)=(-1,3),，直线/的一个方向向量为(一1,3),由于法向量与方向向量垂直，法向量v=(5,1),斜率攵=

10、一小，由tan0=-5知。=120。.题型四直线的倾斜角与斜率的应用【例4】(1)经过点P(O,-1)作直线/,若直线/与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点，则直线I的斜率k的取值范围为()A.-1,1B.(一8,-1U1,+)C.-1,1)D.(-,-1)U1,)(2)已知三点A(,2),B(5,1),C(-4,2)在同一直线上，贝J=()A.2或TB.27C.2D.22(I)解析(1)根据题意画图如图，.a=1ykpB=8(2,J)5=1，在射线以逆时针旋转至射线PB时斜率逐渐变大，p(o,於7%直线/与线段A8总有公共点，所以一IWAW1.故选A.IAa2)由题意可得加C=

11、以8,即-T不=一解得4=2或=故选A.4-5a51答案(I)A(2)AI通性通法I1 .求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围.2 .利用斜率可解决点共线问题，点A,B,C共线O以8=必C或以8与心C都不存在.X2-X3 .空X的几何意义是直线的斜率，所以可借助几何方法解决函数的值域问题口跟踪训练1.下列各组点在同一条直线上的是()A. (2,3),(75)(3,5)B. (3,0),(6,-4),(-1,-3)C. (1,0),(0,-5(7,2)D. (-2,-5),(7,6),(-5,3)532解析：CA选项：过(一2,3),(-7,5)的直线的斜率见

12、=7+2=一彳过点(一7，5),(3,5)的直线斜率加2=三言=一1,两者不相等，故三点不在同一条直线上，A选4-04项错误；B选项：过(3,0),(6,一4)的直线斜率川=三二=一个过点(6,-4),(-1,O-3J3)的直线斜率2=?=-两者不相等，故三点不在同一条直线上，B选项错误；C选项：过点(1,0),(0,一；)的直线的斜率A1=；.过点(1,0),(7,2)的直线的斜率依=；,两者相等，故此三点共线，C选项正确；D选项：过点(一2,-5),(7,6)的直线的斜率0=需=9,过点(7,6),(-5,3)的直线斜率42=1=,两者不相等，故三点不在同一条直线上，D选项错误.故选C.2

13、.已知直线I经过点(1,2),且不经过第四象限，则直线/的斜率k的取值范围是()A.(-1,0B.0,IC.1,2D.0,2解析：D如图，可知当直线位于图中阴影部分(包括边界)所示的区域内时，满足题意，所以直线I的斜率满足0WAW2.故选D.园随堂检测1 .斜率不存在的直线一定是()A.过原点的直线B.垂直于X轴的直线C.垂直于)，轴的直线D.垂直于坐标轴的直线解析：B只有直线垂直于X轴时，其倾斜角为90。，斜率不存在.2 .经过A(3,0),8(6,3)两点的直线的倾斜角为()303兀解析：B由A(3,0),8(6,3),得依B=-=一1,所以直线的倾斜角为故O-J4选B.3.若过两点M(3,y),N(0,5)的直线的倾斜角为150。，则y的值为()A.3B.0C.-3D.3解析：B由斜率公式知噂T=Ian150,，噂如:.坐,y=0O-J。一3J4.(多选)若直线/向上的方向与y轴的正方向成30。角，则直线/的倾斜角可能为()A.30oB.60C.120oD.150解析:BCy轴正方向对应的直线的倾斜角为90。，因此所求直线的倾斜角为60。或120.故选B、C.5.已知经过两点A(-1,1),B(4,。)的直线的斜率为1,则。的值为.解析：由题意可知旨1=1,解得=6.答案：6