解三角形三大定理——倍角定理-中线长定理-斯特瓦而特定理(三).docx

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1、斛三角形三大定理僖角定理，中线长定理，斯特瓦东特定理作者：广东广州超强前几天，我发布的解三角形的两大专题，收获了好多老师给我的私信，问还有没有解三角形文章(三)，意犹未尽，让我还继续发一些精彩的文章，我考虑再三，所以，今天给大家带来了解三角形三大定理一一倍角定理，中线长定理，斯特外尔特定理。其实，就解三角形这块，想出难一些的题目还是比较容易的，随随便便设置几个障碍，就足以难到学生，笔者深入题型，给出了解三角形压轴题一惯使用的技俩，在此与大家分享！欢迎大家转发，点赞！一、僖角定理倍角定理：三角形ABC,角A,8,C的对边分别为,c,若A=23，则Y+A.B(0,60);若此三角形为锐角三角形，则

2、8(30,45).注：倍角定理是一个充要条件，它是命题人特喜欢的考的定理。充分性：三角形8C,角A,B,C的对边分别为,c,若A=23,则/=+庆.证明：sinA=sin2B=sinA=2sinBcosB=a=2bcosB=a2=b2+bc，因为A+B+C=38+C=n8(0,60),涉及到锐角时：3(30,45)2B(0,90)180-A-B=(1803B)(0,90)必要性：三角形A3C,角AB,C的对边分别为,c,若/=+仄；，则a=23证明：由M=/+bc,sin2A=Sin2B+sinBsinC=sin2A-sin2B=sinBsinC=sin(A+B)sin(A-B)=sinBsi

3、nC=sin(A-B)=sinB=A=2B注意：以下所选的例题都是标准答案，但是过于繁琐，希望老师学生们能记住这个小结论小定理，自己去解答,灵活应用题根，希望可以达到事半功倍的效果！例1(2023毛坦厂中学12月高三月考压轴题)设锐角AABC的三个内角A,3,C的对边分别为,且c=1,A=IC,则A4BC周长的取值范围为()A.(0,2+2)B.(0,3+6)C.(2+2,3+3)D.(2+2,3+3Ti7t【答案】C【解析】因为aABC为锐角三角形，所以0A-,0B-,0C-,即02C7,2222O7-C-2C,OC,所以二VCVf,cosC；又因为A=2C,所以226422sinA=2si

4、nCcosC，又因为C=I,所以=2cosC;由=C即M=CSiny=SinF=4cos2C-I,sinBsinCsinCsinC所以+h+c=4cos2C+2cosC,令=cosC,贝IJfe又因为函数y=4+2r在上单调递增，所以函数值域为Q+,3+6）,例2.（2023驻马店市新蔡第一高级中学12月高三）已知A46C的内角AB,C的对边分别为,A%若A=23,则卜子的取值范围为一，初小启坤-rc2bSinC2sinBSin(A+8)2sinBsinAcosB.2sinB7【解析】由正弦定理可知.一+=-+=-+-=；+cosA,又basinBsinAsinBsinAsinBsinACCE

5、ISinACOS3sin2BcosB2sinBcos2B_f2sinB2sinB1A=2B,则=2CoS-8,.4=.Cn=,从而sinBsinBsinBSinAsin2BcosB2Z?I兀I一=4cos2B-1+,又A=2N,知A+8=33v,所以08一，则一cos84-1|1=2,-+0,则+2SinA的取值范围是.a【答案】(3+1,22)【详解】由COSACOSBCOSC0,可知，三角形是锐角三角形，由正弦定理可知1113=$24=2$皿4(：08y1,bb(乃、,b=2acosA,可得一=2cos4,-+2sinA=2cosA+2sin4=2应SinA+-aa4JA-B+C=,B=2

6、A.*.3A+C=A=y-y-,24sinB=*CBN*XCa例2.（2023年广州六十五中高三11月月考）设AABC的内角A3,C的对边分别为a,A,c,已知AABC面积为S,S=-c（f1sinA+Z;sinB-csinC）,若。为AB中点，且C=2,则CD的最大值为（）2解析：C=?,由余弦定理和中线长定理：CDmax=3例2.（2023年广州六十五中高三11月月考）已知MBC中，NA=60，M为BC中点，AM=6,贝J2AB+AC的取值范围为.解析：由中线长定理：/+。2=2（42+32）又因为从+c2+4c=i2c不妨令：t=2AB+AC=2c+bb=t-2c3c2-3tc+t2-1

7、2=0=9-12（r2-12）0z、0=23r0此处的方法，利用了判别式法，具体研究在公共号文章解三角形的第一篇文章。三，斯特瓦余特定理三角形斯特瓦尔特定理：AD2=ab-dctACDB-BDDCBC在A8D和AfC中，用余弦定理有：AD2+BD2-AB2AD2+DC2-AC21IADBD2ADDC=O=心AB2DC+AC2BC-BDDC例1(马鞍山2023届二模理)在AABC中，NBAC=60,点O在线段BC上，且BC=38。,4。=2,则A3C面积的最大值()B解析：SABC=gbcsin/BAC=bec/a设BO=阳OC=2x,由斯特瓦尔特定理和余弦定理：/AbC26x2=2c2+Z?2

8、-12=-6/2=2c2+Z?2-12a2b2+c2-hc由得：hc6取等条件：2c=b所以：SABC面积最大值为：2例2.(东北三省三校2023届高三二模文16)设A3C的内角A,3,C所对的边分别为a,。,c,且3+b+c)3-b+c)=3c,边AC上的点。满足3O=CE=2AQ=2,则A3C的面积S=()解析：由3+b+c)(-b+c)=3c.(+c)2-b2=3ac=B=-由斯特瓦尔特定理得：2+2c2=18,再由余弦定理得：a2+c2-9=ac,2c2下面我来解出。，。：a+c-ac=-=a=2c,之后得：=23,=32所以：S=(+c)2-Z?2tan=3ab=6=424342.1

9、2.例3.（2023信阳市高三二模16）在A3C中，角43,。所对的边为兄6,。，满足。=。4+。3,且8=。4,33r,1sinB+sinACOSA+cos8-f=I1、，Cr则+的最小值为（2+2）sinACoSB解析：如图由斯特瓦尔特定理：b2=22.-=c2=3a2-3/?2C33当且仅当：2b2=a1时取等。SinB+sinAcosA+cosBbt2ac2,baCr+=+1+；+1=-+2+2+2,sinAcosBa3b(a+c2-b2)a2b例4.（2023襄阳市高三期中考16）在aABC中，AB=C,AC=M是BC的中点，MB=2,AM=b-cf试求AABC面积最大值（）解析一：

10、建立如图所示的坐标系，设b-c=勿，则点A在以8,C为焦点的双曲线上，其方程为:er4一不1,又AW=2,所以点A又在以M为圆心，2。为半径的圆上，其方程为:x2+=42,联立以上两式：W=Ia2(4-2)3nyA=6nSMrc=g46=2j解析二：由斯特瓦尔特定理：设角AB,C所对的边分别为a,。,c,得,22ionb+c-16Ibc-12.r.TT12,bc-12-)b+c-4jc+8=0=cos=SInA=1-cosA-=J1-()-2bcbebe:.SMBC=；ASinA=-3(c-8)2+4823,当且仅当尻=8时取等号。例5.（2023江西金太阳高三第二次质量质检16）设AABC的内角A3,C的对边分别为a,J若NBAC=60,D为边BC上一点，且Az）=I,8。:Z）C=2c:3b,则劝+3c的最小值为（）解析：NRAC=60由余弦定理得：b2+c2be=O1，即=J。+/加；由斯特瓦尔特定理知:b2J/+c-be+c2Jb2+c2-be9H3熹匹=病E.2c+c23b2c3b2+2_(2c+c23力(2C+3勿2c3b(b?+c?一反)一2c+3b(2c+34+t-(2c+3-(2c+3b)2oo,qQ.(2c+32)2=19b2c2.2c+3b=晒be-+-=19:.Qb+3c)min=bc19