专题3.11 切线处理情况多曲线不同法定度（原卷版）.docx

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1、专题11切线处理情况多，曲线不同法定度【题型综述】圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1,导数法，将圆锥曲线方程化为函数），=F（X）,利用导数法求出函数、=/（幻在点（玉,为）处的切线方程，特别是焦点在），轴上常用此法求切线；思路2,根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于X（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式=O,即可解出切线方程，注意关于X（或y）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.【典例指引】类型一导数法求抛物线切线2例1【2017课表1,文20】设A,8为曲。线C：尸土上两点，

2、A与8的横坐标之和为4.4（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且A18M,求直线AB的方程.【解析】类型耳_椭圆的切线问题例2（2014广东20）（14分）已知椭圆C:=+与=1（。b0）的一个焦点为（指,0）,离心率为吏.a-b-3（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（XO,%）为椭圆外一点，且点R到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.【解析】类型三直线与椭圆的一个交点X1y2I-1例3.【2013年高考安徽卷】已知椭圆。：=+三=1（。60）的焦距为4,且过点P（I6）.ab（I）求椭圆C的方程；（）设Q（Xo,yo）（Jo0）为椭圆

3、C上一点，过点Q作X轴的垂线，垂足为E取点A（0,22）,连接AE,过点4作AE的垂线交X轴于点。.点G是点。关于y轴的对称点，作直线QG,问这样作出的直线。G是否与椭圆C定有唯的公共点？并说明理由.【解析】类型四待定系数求抛物线的切线问题例4【2013年高考广东卷】已知抛物线C的顶点为原点，其焦点尸(O,C)(C0)到直线/:工-丁-2=0的距离为逃.设尸为直线/上的点，过点尸作抛物线。的两条切线PAp8,其中A,8为切点.2(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(XO,%)为直线/上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线/上移动时，求A忸F1的最小值.【解析】【扩展链接】221 .椭

4、圆的切线方程：椭圆二十=1(80)上一点P(%,X)处的切线方程是等+邛=1；椭圆aDCrbW+g=1(。0)外一点P(Xo,%)所引两条切线方程是誓+誓=1abab2 22.双曲线的切线方程：双曲线二一与二1(0*0)上一”点尸(%,%)处的切线方程是华一绰=1；abab22双曲线二一斗=1(。0S0)上一点P(XO,%)所引两条切线方程是誓一誓二1.abab3 .抛物线的切线方程：抛物线y2=2px(p0)上一点PaO,%)处的切线方程是为y=p(x+/);抛物线y2=2pxp0)上一点P(xo,o)所引两条切线方程是y0y=p(x+).4 .设抛物线C:Y=2py(p0)的焦点为F,若过

5、点P的直线PAPB分别与抛物线C相切于AB两点，则ZPFA=ZPFB.225.设椭圆。:二十与二1(bO)的焦点为“，若过点P的直线尸A,PB分别与椭圆C相切于AB两点，Q-b-则ZPFA=ZPFB.226.设双曲线C:二一与二1(。0/0)的焦点为F,若过点P的直线PAPB分别与椭圆C相切于A8两crb-点，则NPBA=N尸产B【新题展示】1.12019福建龙岩质检】已知椭圆1+1=的两焦点为F、F2,抛物线C：2=2py(p0)的焦点为F，43为等腰直角三角形.(I)求P的值；(II)已知过点E(-2,0)的直线I与抛物线C交于A,B两点，又过A,B作抛物线C的切线中2,使得1，1问这样的

6、直线I是否存在？若存在，求出直线I的方程；若不存在，说明理由.【思路引导】(I)先写出F1、F2的坐标，利用AF/zF为等腰直角三角形，求得P即可.(II)依题意，直线/的斜率必存在，设直线/的方程为y=k(x+2),A(xry1),B(xry2),可得切线小心的斜率分别为，3.Xix2=-4.再将直线与抛物线联立，结合韦达定理解得k即可.2 22.12019河南九师联盟2月质检】已知点F是抛物线C：2=2py(p0)的焦点，点M是抛物线上的定点，且MF=(4,0).(1)求抛物线C的方程；(2)直线AB与抛物线C交于不同两点A%),B(2,y2),且x2-!=x1+r(m为常-数)，直线I与

7、AB平行，且与抛物线C相切，切点为N,试问ABN的面积是否是定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【思路引导】(1)先设出点M的坐标，表示出Mf=(4,0)，求得M坐标，带入抛物线方程，求得P的值，得出结果.(2)先设直线AB的方程，联立求解得AB中点Q的坐标为(4k,4k?+b)，再设切线方程，联立得切点N的坐标为(4k,21?)，再利用面积公式和已知条件X21=xjm2,进行计算化简可得结果.223 .【2019东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中联考】已知椭圆U+-=1(ab0)的离心率a2b21 3为-，右焦点为F,且椭圆C过点(1-).2 2(I)求椭圆C的方程;(I

8、D若点A,B分别为椭圆C的左右顶点，点P是椭圆C上不同于A,B的动点，直线AP与x=a直线x=a交于点Q,证明：以线段BQ为直径的圆与直线PF相切.【思路引导】(I)设椭圆C的焦距为2c(c0),依题意，列出方程组，求得a,b,c的值，即可求解椭圆的标准方程；()方法一设点P的坐标为(X。，吟，当x=2时，得到直线AP的方程，求得点Q的坐标，进而求得线段BQ的中点为T,利用点T到直线PF的距离等于半径，即可证明；又由XO=I可得点Q的坐标，求得线段BQ中点T的坐标，利用圆心到直线的距离等于半径，可作出证明.方法二：依题意，直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为y=k(x+2),联立方程组，利用

9、根与系数的关系，求得点P的坐标，进而求得以BQ为直径的圆的圆心坐标为(2,2k),半径为2k,再由直线与圆的位置关系的判定，即可得到结论.4.12019河南洛阳模】已知圆MXx-ap+(y-b)2=9,圆心M在抛物线c：x?=2py(p0)上，圆M过原点O且与C的准线相切.(1)求抛物线C的方程；(2)点Q(0,-1),点P(与Q不重合)在直线=上运动，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B,求证：AQO=BQO.【思路引导】(I)根据圆和抛物线的位置关系，以及圆和准线相切这一条件得到方程b=3-t,b=-,从而得到结果；(2)24求出两条-切线方程，再抽出方程2.2mx-8=(b其两根

10、为切点的横坐标，y1+1y2+1(1+2)(1+2)kAn+kRn=+=+,通过韦达定理得到结果即可AyDJ.QxIx2xx25.12019江苏如皋调研(三)】在平面直角坐标系XOy中，已知定点F(IQ),点P在y轴上运动，点M在X轴上运动，点N为坐标平面内的动点，且满足pMF=O,PM+PN=6.(1)求动点N的轨迹C的方程；(2)过曲线C第一象限上一点R(X。，丫0)(其中X(j1)作切线交直线X=-I于点Sr连结RF并延长交直线x=-1于点S求当ARSIS2面积取最大值时切点R的横坐标.【思路引导】(1)设P(O,b),M(a,O),N(,y).因为PMPF=O,PM+PN=O,所以a+

11、b2=。，=-a,y=2b,y2=4x2YoYq-4-oF(2)切线RS：-(-)=y-yn,将X=-I代入得y,=,直线RS2:丁(X-I)=y,将X=-1代入得丫=,y0412V0Yo-42心4y048V0=-1),求f(x0)取最小值时，X。的取值即为所求20-D【同步训练】221 .已知椭圆-+U1(ab0)与抛物线y2=2px(p0)共焦点F2,抛物线上的点M到y轴的距离等a2b2于IMF2卜1，且椭圆与抛物线的交点Q满足QF2=3.2(1)求抛物线的方程和椭圆的方程；(2)过抛物线上的点P作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A、B两点，求此切线在X轴上的截距的取值范【思路点拨】(1)

12、由抛物线的性质，求得X=-1是抛物线y2=2px的准线，则或二一1，求得P的值，求得焦点坐标，代入抛物线方程求得Q点坐标，利用椭圆的定义，即可求得a的值，由b2=a2-c2=8,即可求得椭圆方程；(2)将直线分别代入抛物线，由=(),求得km=1,将直线方程代入椭圆方程，求得(),代入即可求得m的取值范围，切线在X轴上的截距为又-B=-i2-9,即可求得切线在X轴上的截距的取值范k围.【详细解析】2222 .(2017鸡泽县校级模拟)已知椭圆C：(abO)的离心率为工，其中一个顶点是双曲线工一a2b229216(1)求椭圆C的标准方程;-匚1的焦点.(2)过点P(0,3)的直线1与椭圆C相交于

13、不同的两点A,B,过点A,B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程.122【思路点拨】(I)由椭圆的离心率为工，其中一,个顶点是双曲线-二二I的焦点，旬出方程组求出a,b,2916c,由此能求出椭圆C的标准方程.(2)当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=kx+3,设A(xj,y),B(x2,y2),求出椭圆在点A处的切线方程为一1+-i1=1,椭圆在点B处的切线方程为-2-+J-12=1,，联立，得2575257575(x-Y)V-?求出交点的轨迹方程为y=2.当直线I的斜率不存在时，无交点.由此能过求出462V1-XIy2)4过点A,B所作椭圆的两条切线的,交点的轨迹方程.【详细解析

14、】3 .设椭圆C：i+i=1(abO),定义椭圆的“伴随圆”方程为2+y2=a2+b2;若抛物线x?=4y的焦点与椭圆C的一个短轴重合，且椭圆C的离心率为返.3(1)求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程；(2)过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA,PB,A,B为切点，延长PA与“伴随圆”E交于点Q,O为坐标原点.证明：PA1PB；若直线OP,OQ的斜率存在，设其分别为k,k2,试判断Kkz是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由.【思路点拨】(1)由抛物线的方程，求得b的值，利用离心率公式，即可求得a的值，求得椭圆方程；(2)设直线y=kx+m,代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得kpAkpB=-1,即可证明PAPB;将直线方程代入圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得kk2卫？2,代入即可求得kk2=-g.X1X23【详细解析】224 .左、右焦点分别为B、F2的椭圆C：(abO)经过点Q(O,3),P为椭圆上一点，APFFzabz的重心为G,内心为I,IGFF2(1)求椭圆C的方程；(2)M为直线X-y=4上一点，过点M作椭圆C的两条切线MA、MB,A、B为切点，问直线AB是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【思路点我】(1)由过点Q,则b=T，