第17讲 递推数列变化无穷合理构造顿显坦途.docx

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1、第17讲递推数列变化无穷，合理构造顿显坦途典型例题【例U对负整数。,数4a+3/4+7,/+8+3依次成等差数列.求。的值；若数列,J满足“I=向一2q,6N)q=z,求知的通项公式；(3)若对任意N,2,+10,数列储“满足%=bq=风-1伽2).4,1+-1(1)求数列为的通项公式；(2)证明：对于一切正整数上2%zr+i强化训练1.(1)在数列4中，已知q=1,当几.2时,有a11=3a,1+2,求通项an.已知(2)在数列q中，已知a11=19an+1=2an+n-1t求数列zf的通项公式.2.51(1Y+,4=Z，1+i=q%+-，求数列M的通项公式632J2.设数列4满足：=1,。

2、=-勺7+2(几.2),数列bn满足r+art=(-1).求数列2的通项公式.解答过程【例1】对负整数,数4+3,7+7,/+8+3依次成等差数列.求的值；若数列4满足4川=”-2a(GN)，4=相,求%的通项公式；(3)若对任意wN*,%用%1，求m的取值范围。【解析】(1)依题意有44+3+2+8+3=2(7+7),即a2-2a-S=0.解得a=-2或6/=4,.a0,.,.a=-2.(2)【解法1】(构造等差数列)原递推式即为%+=(-2)g-2%,两边同除以(-2)n+,有-r-=1.从(一2)(-2)而数列是以Y为首项，1为公差的等差数列.(-2)rt2【解法2】(构造等比数列)由w

3、+1=-2+(-2,令%+45+i)(-2)T=-2%+力z(-2),比较两式得A=-I,故原式为an+1-(+1)(-2,=-2an-m(-2),数列4一以一2)w是首项为q+2=m+2,公比为一2的等比数列.an-n(-2),(加+2)(-2),1,:.C1n=阳(一2严+(m-1).(-2/.【解法3】(迭代法)由an+1=(-2,-2,得=1+(-2f=-22+(-2)-1+(-2)m=(-2)2.2+(-2)m+(-2)m=(-2)2-2_3(-22+2(-2)hm=(-2)3,3+3X(-2)=(-2)m,4+(-1)(2)=m(-2),+(w-1)(-2)nn解：由对CN”均成立

4、得m(-2)2rt+(2n)(-2)2rt+,0,两边同除(-2)2n-2,得4根+(8)-2机+(-2)(2-2),得12+4.12/2+4b.m1616m对N恒成立,而=1时，最小，为一y.mO,数列储力满足4二“二泌3一(九.2).(1)求数列4的通项公式；(2)证明：对于一切正整数nt2anttn+,+1.【解析】nban./c、n1an,+n-1n-1(九.2),A-=2d=+-i+-1anban_,ban_b是等差数列.当b=1时,有=+1,即数列IK0nan-IA即an=.n1zi1=+(-I)X1=，an4当bO且b时,有n11I=W11一+a1-b111I=b-bb(-b)0

5、,故数列是首项为1h(-b),得1,b=故=n(-b)bnnr,1-,Z?0且bw1.“.1Hba吁I/c、kr1trf311n-n11【解法2】对an=归一(几.2)两边同取倒数得一=+=一=-+-.an_+n-annbnban_yanbb,令=-,则a=；,当几.2时，=11.(1)从而有*bbbt111,、山二工+厂2bb-得+1-=(-J,当bi时，得：.数列+12是以-=p-为首项，以I为公比的等比数列,+1-=(1=b,1=b+也-bJ+M-瓦)+(-)=+p-p+1,人=1,(2)【解法1当b=1时，24,，加山+1显然成立.当b0且b时，即证b+1对于一切正整数n都成立.-b2

6、ft(i)b_2nb_2nbn-bn-I-夕-1+。+/+*1-h又b0,故只需证明2应八，(。向+1)(1+8+从+ZT)对N*成立.而(夕”+1)(1+人+/+ZfT)=用+少+82+1+b+从+bn-=(rt+,+bn-)+(n+2+bn-2)+(Zr3+加T)+P+(.”+涉+涉+2b,=2nbn故b0且b时，2qr,川+1对于hN*都成立.综上知，对于一切正整数n,2,bn+i+.【解法2】可证2%,向+1,即证清二”g,由(1)的解法中的讨论知，当b=nb,b-)(/?w-1)(F+,+1)时，原式成立；当b1时,将=吗”)代人得b+12b1n仍一泞+“*次+1)=，+)(J将分母

7、展开，得n综上所述,对于一切正整数,2/”方向+1.强化训练1.(1)在数列,J中，已知6=1,当几.2时,有=3%+2,求通项an.(2)在数列“中，已知a11=1,azj+1=2an+n-i,求数列zt的通项公式.【解析】【解法1】Van=3,1+2,/.+1=3(6Zh,1+1).则数列q,+1是以4+1=2为首项,3为公比的等比数列.q+1=23,即%=23T-1.解法21由递推式得f1+1=3an+2,an=34T+2(.2)两式相减得Hn=3(。-4T).数列4+”是首项为生-%=4,公比为3的等比数列.a,1-an=43”T,.3%+2=4X3”T,即=2X3m,-1.【解法3,

8、/an-3。_1+2,q=1,.z,=3(3a“_2+2)+2=32,2+3,2+2=32(3an,3+2)+3,2+2=33at1_3+322+3,2+24T1=3q+2x3-2+2x3-3+23,+2=3-*1+2-=23w-1-1T42、注，YrhC_2c_1O汨4“a-122日n%an-3一12=F,“g/-AB,-丁/1寸3一3十3”3,/Sr33”则a24_2%生_2%/一2%an-2_2an%_2323,32,333233,34333，3段3n23/,33，i3以上个等式累加得:3.art=23n-,-1(2)【解法1】由q+i=2。”+-1可知4=2。“_+一2.两式相减得4+-=2(a“-a,.)+1,令=at1+1-an.则或=2+1,4+1=2(_1+1),又白=/一=1,也+1是公比为2的等比数列,首项为