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1、关于零极点分析的基本问题https:ZhUr)471562491前言最近在看一篇论文,里面有零极点分析的内容,所以自己就回顾了一下这方面的基础知识,结果发现知乎上一些错误的答案竟然都有不少点赞量,误导后进者。所以在这里写一篇简短的,旨在理清零极点基本原理的文章。多说一句,如果做射频电路设计,因为频率高,寄生效应明显,如果像模拟电路里那样,根据等效电路来推出传输函数(transferfunction)H(s),从而分析零极点,那H(S)公式太长了,分析就太复杂了。所以一般不会这么做,零极点考虑的电路稳定性,在射频微波电路设计里,我们就交给稳定因子K1和辅助因子0来判断就好了。零极点的数学形式首先
2、我们要知道,零极点分析是“舶来品”,这种分析方法的起源并不是直接来自电路设计领域,有可能是自动控制学科。所以对其数学方式要注意灵活运用,不要硬套公式,造成无法理解的情况。一般传输函数H(S)就是下面的有理分式的结构,然后我们对其分子分母的相加形式做多项式分解,就可以得到喜闻乐见的相乘形式HsrN(S)/+。吁2/一2a15a0D(S)Sn.sibn2sn1+*+瓦=K(STMST2)(S-I)(S-P)(5_凸:&_%)这里大家就会条件反应似的认为,“零点就是使传输函数分子为零的根,极点就是使传输函数分母为零的根”,如果死记硬背这条规则,后面到电路领域的理解就会非常不顺畅。不错,在数学上,或者
3、说其他领域,这个规则是对的。比如对于下面这个传输函数1这个传输函数没有零点,因为s2+6s+25=0,所以有两个成共辄的极点S1=3+4j和S2=-34joPo1eZeroMapX-X-3.5-3.0-2.5-20-1.5TO)J5-0.0JQ5Re进入电路领域,比如下面简单的RC低通电路,有一个极点,这也是零极点分析的简单应用,一般都以单实(一个实数)极点开始。1HG)=-CVr+csV(in)OWVJOV(OUt)Jc这里的H(s)=一,如果你硬套上面的有理分式的规则,那这里的极点就是S=sRC+1-,S是频率的拉普拉斯形式,实际就是j3,这里的频率(实为角频率,有个2n的关系)就是负数。
4、这当然不对,这里有两点需要注意:工程与数学形式第一注意点第一,虽然有关系S=j)和S=但j0-W,而是3=一看,是不是很奇怪?其实也没有什么奇怪的,只是数学到工程上一个转变而已。那这里哪个是工程上的转变呢?s=j已经是电路的相量表示了,在零极点分析里从始至终都不会改变。而s=-工是有理分式的数学结果,这个才是需要转变的,需要对应到电RC路上去的关系。事实上,S的数学结果可能是实数P,(在这里P=-W),也可能是更复杂的复数+j,跟上面举的有两个共辄数值结果的例子一样。注意,平时我们说的零极点在复平面(compIexpIane)上的位置,也就是uroot1ocus(翻译是根轨迹图),有不少定性的
5、结论,如在左半平面(Ieftha1fp1ane:1HP)是阻尼振荡,稳定,在右半平面(righthaIfp1ane:RHP)是不稳定,在虚轴上是等幅振荡等等,如下图所示2。这里的root点就是S的值,取数学上结果就可以了。言归正传,那对应到电路上去是如何对应呢?(C)Figure10.4Time-domainresponseofasystemversusIhepositionofpo1es:(a口Zuib:w!hg.x”巾Wamp1itude;(b)unstab1ewithconstant-amp1itudeosci1!a(ion:(c)stab1e.像这里S等于实数(S=P)的情况,那S=j
6、3中的3就等于实数(3邛),如果s=+jB,3的值就会更复杂。如下图中的63,这篇文章只讲一些基础,二阶系统就不展开讲解了。VThenthestab1enenvokinc1udesacomp1ex-conjugatepo1epair,wecanrepresentthepo1e1ocationsass-ajwhereaandarebothpositiverea1numbers.Thetransferfinctionwi11thenhaveafactorofthefnnH(s)=7z-=-T55=z亍(1.4)s-(-a+j)s-(-a-j)s2+2as+cr+炉($+a)2+1andthusa1
7、1thecoefficientsinthedeuoniinatorarepositive,eventhoughtherootsinfacthavenegativerea1parts.Forreasonswhichwi11becomec1ear1ateritismoreconvenienttowritethesecond-orderpo1ynomia1inthestandardfbnns2+26)ns+(1.5)wherenisca11edthecornerfrequencyorbreakpoint,and;isca11edthedampingfactor.Comparing(1.4)and(1
8、.5)wecanre1atethecomerfiequencyanddampingfactortothepo1esusingn=Jcr2+1=aIn-a/Ja2+,二(1)但归根结底,这样的对应关系存在,不是人为规定的,而是传输函数H(X)的性质决定的。为什么H(X)的幅度和相位与频率会有特殊的关系存在,这个特殊关系也就是Razavi在E1ectronicsCircuits2中第43节课末尾叫你记住的部分,可以直接运用的结论4(黑板反光好厉害),文字版如下所示:1 .零点对应上升。幅度是在零点处有20dBcdecade(十倍频)斜率的上升,相位有45度的相加,在0.1W处感受到零点,开始变化,
9、在IoW处变化结束,有90度加成。2 .极点对应下降。幅度实在极点处有-20dBcdecade(十倍频)斜率的下降,相位有45度的相减,在0.1W处感受到极点,开始变化,在IOW处变化结束,有90度的减去。换句话说,如果你想零极点存在这样的幅度和相位关系,你就必须进行对应。数学上的多项式解S和工程上的频率3必须要进行对应才可以使用。大部分人零极点分析学的云里雾里,就是这步对应没学好。至于怎么对应,这是纯数学上的关系,下面内容对单实极点会有一个简单的推导。工程与数学形式第二注意点第一个注意点就写了这么多,希望大家看下来能懂了j3-J:的原因,那第二个注意点是什么呢?是=-工。这个频率对吗?当然不
10、对,频率不可能是负数。RC那这里极点对应的频率是多少呢?是0)=今,没有负号。为什么是这个值?其实也没有什么可奇怪的,负数是数学下的解,到工程里面就对应为正数,而且正数满足零极点的幅度和相位对于频率的关系。我们把这里的传输函数改写一下:(有s=j,=能)1111一乃H(S)=QJ4IsRC+1jRC+1;+12在3=这个极点频率处,有20咏偿)=20108(2)-*=-3此,幅度下降TdB,相位下降-45度。另一方面,与-20dBdec怎么对应上的呢?看H(X)=WTP幅度H(%)=1+(3Re)2号当频率3远离极点频率变小时,即5有IH(X)I(eoRC)T=-201og(C)=-201og
11、-20og(RC),斜率的-20dBdec的关系就有了。如果是数学上的极点频率=.,那传输函数H(S)=/是无法满足上述幅度和相位的要求的,更别提频率是不可能为负数。上图会更直观。如下图所示,这里的传输函数为H(x)=W,极点频率3=1。这里没有讲相位和频率的关系,这个原理其实差不多,都是座离后的近似,我就直接摘了一段英文的解释贴在下面。一工一3PZU6BWFrequencyradsFigme1-1-Frequencyresponseforasimp1epo1eat=一!(144)1etsstartasbeforebyconsideringafirst-ordercircuitwithasim
12、p1epo1eatS=-1H(S)=H(jco)=s+1/0+1T1iephaseofthetransferfinctionisgivenby(1.45)NH(J)=-tan-1()Theasymptoticbehaviorfor1and1canbeeasi1yfoundNH(Je)=O0;1-90o10-210-1110102FrequencyradsFigure1-14-Bodephasep1otforasimp1epo1eavS-上面这一套幅度和相位对频率的关系,也就是第一个注意点里说的数学和工程上的对应关系“对单极点会有一个简单的阐述o二阶系统也一样,如下图,都是为了幅度和相位对频率的
13、关系而做的数学与工程上的对应。3020Wio0-10-20-30-4001%CA10Frequency,rads所以你应该懂了,不一定分母为零的根就是我们要的极点频率,中间是需要做个对应的。单实极点就是负数转正数就可以了。最后再说一点,我们算零极点都是对稳定电路进行处理,所以H(x)=-中的P是sP必然小于零的,这样有s=pO,极点在左半平面,电路稳定。无论传输函数的形式是H(X)=-1还是H(X)=-1,s0都是需要满足的关系,所以极点为负数很正S-ps+常。如果为正数会出现什么情况呢?假设有电路的传输函数形式为H(S)=焉三,极点S=上,首先极点为正,在右半平面,这是一个不稳定的系统。如果
14、再对应RC一下,H(s)=-1=3e或,这幅度和相位与频率的关系都与零sRC1)tore1J1V2极点的要求对应不起来,所以是不需要管的,直接抛弃或者修正就行了。总结零极点的分析基础主要是区分数学和工程上不同的应用,不能硬套公式。如果下次再有人问你,极点不就是分母为零吗,那为什么这里#%*.?这种一般就是数学和工程之间没有建立对应,你就把这篇文章转给他/她看看。我是看到知乎上一些回答,硬套数学公式明显不对的情况下,还有不少人点赘,所以写了一篇这样比较基础的文章。如果后续觉得有什么需要添加的,我也会继续更新。参考文献1en.wikipedia.org/wiki/P一2 Razavi,DesignofanaIogCMOSintegratedcircuits,2nd.3 EETOP创芯网论坛(原名:电子顶级开发网)-4 最准中英文字幕,RaZaViE1eCtrOniCSCirCUitS2,拉扎维电子电路2哗哩哗哩biIibiIi5同时感谢其他知乎er的创作,这里给出一个我看过的优秀答主关于零极点分析的链接,控制系统中的零极点有什么物理意义么?有需要的可以移步,没有任何利益关系。