专题六 第7讲 圆锥曲线的定值问题 2.docx

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1、第7讲定值问题【母题】(2018北京)已知抛物线C：y2=2px(p0)经过点P(1,2),过点。(0,1)的直线/与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线布交)，轴于直线PB交y轴于M(1)求直线/的斜率的取值范围；(2)设。为原点，QM=QO,QN=QO,求证：为定值.J1思路分析联立/,C的方程，由判别式及附，PB与y轴有交点求斜率的取值范围用A,B坐标表示M,N坐标J用M,N坐标表示九利用根与系数的关系计算3+)求出为定值A/4(1)解将点P代入C的方程得4=2p,即=2,所以抛物线C的方程为V=4x,显然/斜率存在且不为0,设为鼠则/：y=履+1,y=x1,由,消去y得以2+(22-

2、4)x+1=0,(*)y=4x,由已知，方程()有两个不同的根，且1不是方程的根(因为,PB都与y轴有交点),所以/=162+160且2+(2-4)+10,即AvO或00,设Aa1,y),B(X2,加,则总+及Akt2(户一2)2F+1Mm=2d+12/所以W+v=A(x+m)+2=2炉+,所以尸点坐标为(一5群7,WT)又因为点P在椭圆上，仁I、J4标尸2尸p?2.所以(2K+)2+(2/+I)=1，即=一因为依用=、1+妁即一必|=y1+2(xi+x2)2-4xx2221+22(22+1)-r2=2炉+121+2一2A2+1又点。到直线/的距离d=不枭,所以平行四边形OAPB的面积S。(M

3、PB=2Sab=IABM=建告m即平行四边形OAPB的面积为定值.子题2(2023.福州质检)直线I与椭圆C：f-=1有且只有一个公共点P,I与圆W+V=6交于4,B两点，直线OA,。8的斜率分别记为丸，&2,求证：八心为定值.证明当直线/的斜率不存在时，直线的方程为x=2；当x=2时，A(2f2),B(2,-2),则2论=乎义(_乎)=_/当彳=一2时，A(2,2),B(2,-2),则孚=T当直线/的斜率存在时，设其方程为y=H+机，A3，y),B(X2,沏,F=AX+2,9+e_得(1+29)x2+4kwx+2机24=0,由题意/=(4h)24(1+2d)(2w?4)=0,得j2=4F+2

4、,联立,y=k-myy+y2=6,得(1+k2)x22Arzwx+2-6=0,依题意，d0,则2=2km户一6+F即7=+F，所以krk2=y1丫2(如+化迫+XX2f+碗1TT司+苏直线社的方程为合令尸。，得N点的横坐标为端%租又巾=武汨-4),y2=-4),故IoN1=y2+y2如为一4A(X1+也)AQ+m)-82于是x1+x2=4hn1+2。21炉一6XX2=1+2由AM_1AN,得俞俞=0,故32)(X22)+(?|1)(21)=0,整理得(2023新高考全国I)己知椭圆C：兴+卓=】(公山)的离心率为乎，且过点4(2,D(1)求C的方程；(2)点M,N在。上，且AMJ1AMAD1M

5、N,。为垂足.证明：存在定点Q,使得|。|为定值.41白2一方21(1)解由题设得宗+/=1,a2=2*解得/=6,b2=3.所以C的方程为a+1=.03证明设M(XI,j),N(X2,J2).若直线MN与X轴不垂直，设直线MN的方程为y=履+机，代入1,得(1+2k1)x1hnx2rr6=0.+1)xX2(w-2)(x+2)(w-1)24=0.2/72?641rm将代入上式，可得(2+D+29一(卜_女_2+2+(m-1+4=0,整理得(2Z+3?+1)(2+w-1)=0.因为A(2,1)不在直线MN上，所以22+m-1W0,所以22+3m+1=0,k.所以直线MN的方程为y=(x)-kD所

6、以直线MN过点尸(|,一寸.若直线MN与X轴垂直，可得Mxi，-y).由嬴加=0,得(X1-2)(x2)+(yI1)(yI1)=0.?2又誉+号=1,所以3好一8x+4=0.解得即=2(舍去),Xi=j.此时直线MN过点卷一寸.令。为4P的中点，即。G，1若。与P不重合，则由题设知4P是RtZAQP的斜边,故IOQ1=IIAPI=.若。与P重合，则|。0|=夕4?|.综上，存在点。俘，使得|。QI为定值.专题强化练1.过点K当,o)的直线交椭圆C5+V=I于E,F两点,求证：加+#为定值证明当直线律的斜率为零时，则点E,尸为椭圆长轴的端点，,1,111研商二(2+(2-4+1=-F&-b当直线

7、所与X轴不重合时，设直线的方程为X=)+坐设点风箝，y)tF(X2,方),=jid+7(1+际器？_16v9-yi6-3*综上所述，正齐+年春=3(定值)y2(2023泰安模拟)已知椭圆E+$=13O)的右顶点为A,上顶点为&O为坐标原点，点O到直线AB的距离为乎，AOAB的面积为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线/与椭圆交于G。两点，若直线/直线48,设直线AC,8。的斜率分别为抬，&2,证明：M4为定值.-y(r2+2)=8f2+奇0恒成立，由根与系数的关系得._2的_4+%=3(r2+2),yiy2=3(2+2)因此+=(1+(1+_M+强2My2一(1+i1)yyi(1+12)yy

8、y18r2816(/2+1)即h-ay-ah=0tab2y5ya2+b253(尸+2+3(7+2)3(r2+2)2因为AOAB的面积为1,所以&b=1,即b=2.解得=2,b1,所以椭圆的标准方程为Y+y2=1证明直线A8的斜率为一/设直线/的方程为y=-%+f,Cay),D(X2,力),代入+y2=1,得2)22)+尸一1=0,依题意得，J0,F1则力+以=%”=一一,gf-1xj,W)2-1)D2-y所以攵伙21,X|22XX22X2因为X1X22X2=4(ryI(t-y2)4(/2)=4尸一)，I+”)+y1卜2-=4U+)2)2-(y+y2)S+)2)+yy2-(j+y2)+y2=4(

9、yy2-y),所以左伙2=:为定值.-rr67+F加2-6A*24F+2-6标1fif64斤+262，所以鬲虫为定值.规律方法求解定值问题的两大途径(1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关.(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值.【跟踪演练】2I.在平面直角坐标系XOy中，过点M(4,0)且斜率为攵的直线交椭圆，+)2=1于A,8两点.(1)求k的取值范围；(2)当&W0时，若点A关于X轴为对称点为P,直线BP交X轴于点N,求证：IOM为定值.解过点M(4,0)且斜率为&的直线的方程为y=Mx4),卜=绘4),由便+、_得(d+jM8MX+IGF-1=。，因为直线与椭圆有两个交点，所以/=(一8)2-4(d+(16A2-I)O,解得一坐*所以k的取值范围是(一*,坐).证明设Agjo,Ba2,”),则Pa1,H),由题意知X1M,y)f2,=1.即IoN为定值1.+4解直线AB的方程为