导数系统班11隐零点之零点代换.docx

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1、第十一讲隐零点之零点代换知识与方法在研究函数单调性时，常常会遇到广(力零点不可求的情形，此时可先论证r(x)有零点，再虚设零点，最后运用零点代换，化简函数极值的策略来解决问题，这是隐零点问题常用的处理方法.隐零点的零点代换处理策略被广泛应用于零点讨论、不等式证明、求最值等各种题型中，是零点不可求问题中一个必备的基本处理方法，真题中也十分常见.典型例题【例1】设函数f(x)=e-0),证明：/(x)0.证法1：由题意，/(X)=1=,设g(x)=w0),则g(x)=(x+1)eO,所以g(x)在(O,o)上单调递增，又g(x)=-2v,g=20,所以g(x)在(0,1)上有1个零点X0,且当OV

2、X七时，g(x)0时，g(x)O,所以(x)0,从而/(x)在(0,%)上单调递减，在(%,+oo)上单调递增，故Hmm=/(%)=*-21n%-2，因为g(o)=/*-2=O,所以淖=2,两边取对数xO2得：/=In=In2-Inx0,故InXo=In2-飞，代入式得/(xo)=A-2(1n2-xo)-2=-+2-21n2-22-2In2-2=2-21n20,从而F(X1n。所以/()0证法2：设(x)=ex-ex(x0),则x)=ex-e,所以p(x)0ox1,(x)0xx0),则hx)=e-=-,所以/(x)0-,/(x)00x0,因为f(x)Mx),所以/(x)0.证法3：r(x)=1

3、nx-x+1(x0),则/()=1-i=上N,所以/()OoOVXv1,XX(x)0x1,从而r(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,故r(x)r=0,所以InXx-1,故f(x)=-21nj-2ex-2(x-1)-2=ex-2x,设f(j)=ex-2x(x),则f(x)=e*-2,所以/(x)0oxIn2,r(x)0o0x0,因为/(x)(x),所以/(x)0.证法4：易证erer,1nxx-1,所以/(x)=e*21nx-2ex2(x-1)2=(e-2)x0.【例2】设函数=一3一,其中eR,e是自然对数的底数.(1)当=0时，求”的最小值：(2)当=e时，设力的极小值点为

4、%,证明：-2f(x0)0ox0,/z(x)0x0ux1，/ff(x)0x1,从而/(X)在(-oo,1上单调递减，在1,+oo)上单调递增,X(0)=0,(1)=-10t所以/)在R上有两个零点X=O和f,其中(1,2),且当xw(-,0)时，,(x)0,当x(0)时，,(x)Of从而在(-,0)上单调递增，在(V)上单调递减，在&芹)上单调递增，故X=Z是函数/(X)唯一的极小值点，所以0=f,从而/&)=/。)=一/2一1,由于f(1,2),且f(x)在(IJ)上递减，所以/Q)v/=1一2,另一方面，f,(t)=et-er-1=0,故/=e+1,所以f(f)=e+1-2-r-1=r2(

5、e-1)/易知二次函数y=-+(e-1)f在(1,2)上单调递减，所以/(r)-22+(e-1)2=-2,综上所述，-2(z)-2,即-2(%)0时，证明：存在唯一的XOd-A,0),使得f(*=0;(2)若存在实数、b,使得)h恒成立，求a-的最小值.【解析】(1)由题意，r(x)=+2以，ff(x)=ex+2at当a0时，尸(力0,所以f(x)在R上单调递增,因为r=97,所以存在唯一的Me,5,o),使得r(%)=o.(2)当av时，对任意的x招,f(x)=ex+ax2+ax2-11-(1-Z)=Z,所以对任意的实数6,/(x)b不可能恒成立；当a=0时，f(x)=ex,要使/(x)6恒

6、成立，只需b0,所以a-匕=0,当。0时，由(1)可得存在唯一的XOd-A,o)使得r(*=o,且r(x)O=xo,(x)Oxxo,所以/(X)在(-00,%)上单调递减，在(%0，+8)上单调递增，从而/(力而=/(%)=广+应，因为/(X)泊恒成立，所以淖+竭泊，故a-ba-e-ax1,又（飞）=*+2”=O,所以=-,代入不等式可得片，整理得：a-b史淖，设g()=士萨11(o),则gO=_1XO,gx)O=x0,其中eR.(I)当=1时，证明：/(x)有最小值机且机0；4+7。，(2)设40,且/(x)0恒成立，求的取值范围.【解析】(1)当=1时，/(x)=F+W-4(x0),所以广

7、(力=-一弓,从而r(x)在(0,+oo)上单调递增，又/(；)=衣80,所以f(x)有唯一的零点/且Xoe(T,1),当x(O,o)时，,(x)O,故外力单调递增，所以“力有最小值机，且m=f(x0)=e+2-4,由xO9O/优)=6。_彳=0可得/=彳，XoII而42/22/-4片+2毛+22(x0-1)(2x0+1)(A从而帆=e%+4=+4=-F2-=-,因为AOe二，所XoXoXO-2)以%0.(2)由题意，0,r()=ad-燮，/(=叱+当由0,所以广在(0,+)上单调递增，当Xmax1,In土时，/(x)=e*-土?4e*-(+1)=,，一0,又/(!J=五一4(+I)=(G-4

8、)4v0,所以/(X)在(0,+oo)Jt有唯一的零点设为X1,则/(x)0xx1,故/(x)在(0,占)上单调递减,在(X,+)上单调递增，所以/(力mm=/($)=-2(+1)0,xI因为尸(内)=八一与=0,所以Q-=与，代入式可得号+1-2(+1)0,XX1斗X所以41-2O,结合M0可解得：0内1,由四U=/可得1=x；F一1,1x1Xfa显然当OVXI1时，-1e-1,-0,所以10,故0!e-1,W-,所以实数。的取值范围是J-,+aae-_e-)2 .己知函数/(x)=(aF满足f(x)O对任意的XtR恒成立，其中e为自然对数的底数.(1)求a的值；(2)证明：f(x)存在唯一

9、的极大值点与，且0v(i)aex-a-x)exOaex-a-xO,设g(x)=-x(xeR),则/(力=46、-1,且g(x)O恒成立,当0时，显然对任意的x0,g(x)=ae-a-x=a(e-i-x0时，g,(x)Ox1n-,Ox0),则,(a)=-1+-=-所以()OoO1,()1,从而e()在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，故*()e(1)=0,即1-a+1n40，结合可得只能1-+1n=0,且此时=1,综上所述，实数”的值为1.(2)由(1)可得/(x)=(F-1-He所以r(力=卜，-1)8+(-1一到d=(2-4-2)8,设h(x)=2ex-x-2(xR),则hx)=

10、2ex,所以,(x)0xIn,Z(x)Ox1n1,从而MX)在卜0,叫上单调递减，在同,H)上单调递增，故(x)m,n=MIng)=2/2-in1-2=1n2-1O,所以MX)在Ring)上有一个零点，记作兀，又MO)=0,所以MX)共有所和。这2个零点，且MX)Oox0,(x)OoxO=x0,z(x)Oxox0,故/(x)在(-8,%)上单调递增，在小,0)上单调递减，在(0,a)上单调递增，所以“力有唯一的极大值点/，且/()=(-I-AO卜，因为M%)=2*-AO-2=0,所以*=当匚，代入化简得：/(0)=-,因为2v1n5,所以1vX。+1V1In2,从而0(x0+1)1故T片+2%=伉+1)2-10,所以0一史卢显然MT)二2二一1/0,所以b-1,从而丁丁。T0-vo21,所以o0时，/(x),求。的取值范围.【解析】(1)若=1则/(x)=ei-1nx+1(x0),f(x=ex-,eX当OVXV1时，ev-,1,所以r(x)1时，ex,1,-0,XX从而无)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，故/(x)有极小值1)=2,无极大值.(2)由题意，0,f,(x)=aex-,/(x)=ae