第十八讲向量数量积.docx

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1、第十八讲平面向量的数量积【要点梳理】1.平面向量的数量积已知两个非零向量a和，它们的夹角为仇则数量血cos 3叫做q和的数量积(或内积)，记作 a-b=abcos 0.规定：零向量与任一向量的数量积为。一.两个非零向量。与垂直的充要条件是。协=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是。山=步I.2 .平面向量数量积的几何意义数量积a-b等于a的长度间与力在。的方向上的投影|cos 0的乘积.3 .平面向量数量积的重要性质(l)ea=ae=|a|cos 仇(2)非零向量 a, b, a_Z.ua=0；(3)当。与力同向时,a-b=ab；当q 与 b 反向时，q4=一网，a-a=a2, a=yaa；

2、(4)cos。=儒；(5)a-bab.4 .平面向量数量积满足的运算律(1)0m=。0(交换律)；(2)3)6=23协)=0(劝)(2 为实数);(3)(a+c=ac+c.5 .平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量Q =(X, yi), b = (X2y P2)，则。协=网里+川),2,由此得到(1)若。= (x, )，)，则|2=+ 2 或=/+ )闩(2)设4(r，9)，Bg ”)，则A、B两点间的距离|A8| = |而| =d(X 初产+一户)2.(3)设两个非零向量a, b, a=(xf yi), =。2，)，则力。亚旺上出三【基础自测】1 .己知向量和向量b的夹角为135。，|a|

3、=2,创=3,则向量a和向量力的数量积02 .已知aJ_b,=2,网=3,且3a+2与加一垂直，则实数2的值为.3 .已知。=(2,3), =(-4,7),则。在力方向上的投影为.4 .己知向量。=(2/)，力=(一1, k), 0(2。一力)=0,则2等于 ()A. -12B. -6C. 6D. 125 .设向量=(1, cos。)与=(一1,2cos夕)垂直，则cos 2。等于 ()A.当b4 C. 0D. 1【例题讲解】题型一平面向量的数量积的运算【例1】(1)在中，ZC= 90, AC=4,则赢危等于()A. -16 B. -8 C. 8 D. 16(2)若向量 =(1,1), 6=(

4、2,5), c=(3, x)f 满足条件(8a-b)c=30,则一等于()A. 6 B. 5 C. 4 D. 3练习：已知正方形ABCD的边长为1,点E是边上的动点，则虎屈的值为;无比的最大值为.题型二向量的夹角与向量的模【例 2已知=4,步| = 3, (2-3)(2。+万)=61,(1)求。与力的夹角0；(2)求 |0+加；(3)若施=，BC=b,求ABC的面积.练习：(1)已知向量。、方满足=1,创=4,且。力=2,则。与力的夹角为()(2)已知向量。=(1, 回 *=(-1,0),则|。+2等于()A. 1B.y/2C. 2D. 4题型三向量数量积的综合应用【例 3】 已知 a=(co

5、sa, sin a), b=(cosfi, sin )(0ay?7i).(1)求证：a+b与ab互相垂直;(2)若ka+b与a-kb的模相等，求夕一a(其中k为非零实数)练习：已知平面向量a=(，5, 1),6=(；,坐)(1)证明:ab；(2)若存在不同时为零的实数女和3使。=+(尸-3)4d=ka+tb,且c_Ld,试求函数关系式攵=).1 .设x, yR,向量a=(x,l), =(1, y), c=(2, 4),且。_Lc, b/cf 则|a+b|等于A邓B.VlO C. 2小D. 102 . 在ABC 中，A8=3, AC=2f BC=yfldf 则晶启等于()3-2B.2-32-3C3-23 .己知向量a, b夹角为45。,且=1, |2。一=，则|加=.4 . 在ABC中，M是8C的中点，AM=3, BC=10,则赢启=.5 .已知。=(2, 1), b=(L 3),若与力的夹角为钝角，则2的取值范围是.6 . 己知a=(l,2),8=(一2,九)(心1), a与方的夹角是45。.求公(2)若c与力同向，且a与ca垂直，求c.