矩阵及其运算.docx

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1、第二章矩阵及其运算本章教学内容与教学要求第一节矩阵1、掌握矩阵的基本概念、第二节矩阵的运算1、 掌握矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵与矩阵乘法和转置的定义及其运算法则.熟练地进行矩阵运算.2、 掌握方阵的行列式及其性质.3、 掌握伴随矩阵的定义及其性质4、 作业P66.2.3.4(1.3.5).8.9.10.第三节逆矩阵1、 掌握逆矩阵的概念及其性质.2、 掌握矩阵可逆的条件.3、 会用伴随矩阵求逆矩阵.4、 作业P67,11(1),(3)(5);P68,12(2),(4),13(1),15,16.17.第四节1. 掌握分块矩阵的运算法则.2. 会利用分块矩阵求逆矩阵.3. 作业P6921.22讲授

2、内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义定义1由mn个数a1j（/=7,2,.n;J=/,2,.）排成的m行列数表，记成a2_a21a22aIn/1=（川m2，称为mx矩阵（matrix）.也可以记成），（）阳或AnX”等其中为矩阵的第行第列代表性元素/称为行标/=1,2,.,m,j称为列椀=1,2,几矩阵一般用大写黑体字母A、B,等表示.注：实（复）矩阵：元素均为实（复）数的矩阵.方阵:m=n时,称A为n阶方阵,也称为n阶矩阵.行（列）矩阵:只有一行（列）的矩阵.也称为行（列）向量.（m或n等于1）矩阵同型:两个矩阵的行对应相同,列也对应相同.矩阵相等:两个矩阵既是同型的,对应元素又相等.记为A=B

3、.零矩阵0:元素都是零的矩阵.（不同型的零矩阵是不同的）从定义可以看出,确定一个矩阵的两个要素是维及元素.练习试写出4x5矩阵A若其元=2i-j.f0-1-2-3、答案13210-154321J6543）二、矩阵问题的例子例1（通路矩阵）省两个城市2,生和6省三个城市力2也的交通连接情况如图所示每条线上的数字表示连接该两城市的不同通路总数.又该图提供的通路信息,可用矩阵形式表示（称之为通路矩阵）,以便存储、计算与利用这些信息.=通路矩阵C的行表而省的城市,列表勒省的城市，而%表示与房间的通路数有-H13N022）a2b1b2bi例2（价格矩阵）四种食品在三家商店中，单位量的售价（以某货币单位计

4、）可用以下矩阵给出：耳乃瑞K77112SA=1591319S21881519）5,Z*f这里的行表示商店，而列表示食品，比如第2列就是第2种食品，其3个分量表示该食品在3家商店中的售价.涉及到两个集合上面分别胤省城市省城市,食品与商店且其元（上面分别是通路数目价格）相关联的场合常会出现这样的矩阵例3（线性变换的系数矩阵）个变量卬孙与An个变量加为，%之间的关系式y产即X+即再，为=211O22X2+,=am.xx+am2x2+amnxn表示一个从变量：1，2,3到变量，的线性变换其中他为常数素间由某数系数劭构成矩阵称此矩阵为线性变换的系数矩阵.线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.Y-YcoV

5、snt例如以原点为中心旋转角的旋转变换,y=Xsnr+ycost对应的线性变换为(csISinZ-sin/cosz第二节矩阵的运算一矩阵的加法定义2设A=(劭)，B二(M)都是mn矩阵，矩阵A与5的和记成A+B,规定为砥+如%2+%.,6+、A+B=。21+821。22+42，,a2n+nan+bm2-,Qd3+(-3)J13013(-1)J=b62)(123仅1一31+02+1t-153厂12I-1厂-1+25+1应该注意，只有当两个矩阵行数相等，列数相等时，这两个矩阵才能进行加法运算.矩阵的加法运算满足规律1. A+B=B+A(交换律)2. (A+B)+C=A+(B+C)(结合律)3. A

6、+0=A4. 设A=(4j),记-A=(-aij),称-A为A的负矩阵，易知A+(-A)=0规定A-B=A+(-B)二数与矩阵的乘法定义3数;I与矩阵A=(%)小的乘积记成IA或A/1,规定为AA=1Aa21tt2,A22/.a2n,2-,福”Kr13、11)J1-1、例2若A=52,B=30,那么一B=-30-100-101/Z-O2、39、A-B=22,3A=43：=156-11-3Oj/数乘矩阵的运算满足规律：2. 1.4%=(W)A3. (4+MA=4+/N4. (A+B)=A+B其中九为数4,8为矩阵.三矩阵与矩阵的乘法定义4设A=（劭）是一个ms矩阵，B=（bij）是一个sn矩阵，

7、规定A与3的积为一个mn矩阵C=（cij）,其中Cij=7+，=1,2,7;7=1,2,/?.A与B的乘积记成AB,即C=AB.AB=ABmssXmn列必须注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘.410、(03-P-13例求矩阵A=与B=的乘积AB31。2)201J34,410、r103-113解C=AB=、2102)201J34,p4+0(-1)+32+(-1)1(24+1(-1)+02+2111+O1+3O+(-1)321+11+00+23-2-1、19911I-30、2-3、-1A3-12=-4512)ZJ1;例10+03+31+(-1)

8、420+13+01+24)当AB=BA时，称A,B可交换.若矩阵A、B满足AB=O,未必有A=O或8=0的结论.r1001阶矩阵g=0、0称为单位矩阵.、00b如果A为mn矩阵，那么EA=AEf=A0.O1，？阶矩阵02.0称为对角矩阵100,n)两个对角矩阵的和是对角矩阵，两个对角矩阵的积也是对角矩阵.矩阵的乘法满足下述运算规律2. 1.(AB)C=A(BC)结合律3. A(B-C)=AB+AC，(8+C)A=84+C4分配律4. (AB)=(AA)B=A(AB).例7如果A=C=+ACAB+AC=12Y21341-32-454J(515AB+AC=A(+C)=(341-32,r12Y3I1

9、Q,34-13厂15175)矩阵的累A是一个阶矩阵,k是一个正整数,规定Ak=A*-这就是说，Ak就是k个A连乘。显然只有方阵的塞才有意义.规定A=E.如果AJO,也不一定有A=O.例如取对于两个阶矩阵4与8,一般说(AByA&B.P48例640.OY00、例804.00老00,n)0a01、20,求A2-2A01；口例9已知A=O02、202、rO00、40040=0000IiS02,20,r2=0解二(-01)r101、00A2-2A=(A-2E)A=000020=00U0-1Z,1010例10已知线性方程组0、00,a1tx1+a12x2+a13x3+a14x4=b121x1+a11x1

10、+23x3+24X4=%03西a32x2+33x3+a344=从如果记于是anxi+a12x2+ai3x3+ai4x41ya21x1+a22x2+a23x3+c24x4xi+a32x2+a33x3+a34x4)那么上述线性方程组可记成Ax=b.四矩阵的转置（transpose）,定义5将矩阵A的各行变成同序数的列得到的矩阵称为A的转置矩阵,记为M（1-/、“I-M-Tf102）例11若A=O1,则A，=.n.Q3JUI91.(A7Y=A2.(A+B)=Ar+B3.(4)r=4r4.(AB)=BAr(-A/、(oAT例12已知A=01,B=,求(ABy112)123J,)(-1Y、(O-21八(

11、01解一因为AB=01=12I1223、756IZ/7(015、所以（AB）7=1-226；_(1Y102、(解二(AB)丁=37f=S2人T13)-矩阵的转置满足下述运算规律矩阵A称为对称矩阵，如果A7=A.容易知道,A=（劭）是对称矩阵的充要条件是aij=ajiti,j=1,2,矩阵A称为反对称矩阵，如果4T=-4.矩阵A=（徇）X”是反对称矩阵的充要条件是aij=-叼,i,j=1,2,.015-226例13如果A是一个阶矩阵，那么,A+A是对称矩阵.力-力丁是反对称矩阵.证因为(AfAT)T=A/+(AT)，=A+A=A+所以4+A，是对称矩阵.因为(A-=AT-(AT)T=A-A=-(

12、A-47),所以44是反对称矩阵.例14设A为矩阵，那么AA丁为粗阶对称矩阵证由矩阵的乘法可知是m阶的.因为(AA7Y=(A7YAT=AA7,所以AA是对称矩阵.5、例15设列矩阵X=?满足XTX=I,令=E-2XX$1 .证明H为对称矩阵.2 .计算H2.1 .证因为H=(E-2XX)=E-2(XX)=E-2(X)X=E-2XX=H9所以H为对称矩阵.2 .H2=(E-2XX)2=E-4X+4(XXr)(XX)=E-4XX+4X(XX)X=E-4XX+4XX=E.五方阵的行列式(determinant)定义6由阶矩阵A的元素(按原来的位置)构成的行列式，称为方阵A的行列式，记作detA方阵的行列式运算满足下述规律，(其中AB是阶矩阵，尤为数)1IA1=IA12. P1AI=刈AI3. IM=MW